Necesidad de explicación para la ecuación diferencial simple

Question

No puedo averiguar esta muy simple la ecuación lineal:

$$x'=x$$

Sé que el resultado debe ser una función exponencial con $t$ en el exponente, pero realmente no puedo decir por qué. Traté de integrar ambos lados pero no parece funcionar. Sé que esto es pregunta de noob vergonzosa, pero estaría agradecido para cualquier sugerencias.

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{dx}{dt}=x \Leftrightarrow dt=\frac{1}{x}dx$ $

Answer 2

$\dfrac{dx(t)}{dt}=x(t)$, así: $\dfrac{dx(t)}{x(t)}=dt$, integración de los dos lados puedes obtener: $\ln(x(t))-\ln(x(0))=t$ y finalmente: $$x(t)=x(0)\exp(t)$ $

Answer 3

$$x'=x \Rightarrow \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{1}{x} dx = 1 \ dt \Rightarrow \int \frac{1}{x} dx = \int 1 \ dt \Rightarrow \ln(x)= t + C \Rightarrow x(t)=e^te^c.$$

$\cdot \ \text{Let A}=e^c \ \text{then} \ x(t) = Ae^t$

Answer 4

Tenga en cuenta que no es necesario tratar $dx$ y $dt$ como entidades independientes ("infinitesimales") al solucionar una ecuación diferencial como esta.

Una manera de solucionarlo (que no sea sólo conjeturar la solución) es esto:\begin{align} & x'(t) = x(t) \\ \implies & x'(t) - x(t) = 0 \\ \implies & x'(t) e^{-t} - x(t) e^{-t} = 0 \qquad (\heartsuit)\\ \implies & x(t) e^{-t} = C \quad \text{for some } C \in \mathbb R \quad (\spadesuit)\\ \implies & x(t) = Ce^t. \end{align} para ir del ($\heartsuit$) a ($\spadesuit$), tomamos antiderivatives de ambos lados, usando la regla del producto a la inversa.

Este es un truco estándar que puede utilizarse para resolver cualquier primera Oda linear de la orden.

Answer 5

Prueba usando sólo la diferenciación: Trate de la familia de funciones

$$ x(t) = x(0) e^t $$

como solución (sólo se diferencian)

$$ x'(t) = x(0) \frac{d}{dt} e^t = x(0) e^t = x(t) $$

y la prueba de la singularidad. Esto se hace generalmente por el supuesto de una segunda solución $y(t)$ con

$$ y'(t) = y(t) $$

entonces

$$ \frac{d}{dt} \frac{y(t)}{x(t)} = \frac{y'(t) x(t) - y(t) x'(t)}{x^2(t)} = \frac{y(t) x(t) - y(t) x(t)}{x^2(t)} = 0 $$

para $x(t) \ne 0$, lo que implica

$$ y(t) = C \, x(t) \\ y(0) = C \, x(0) $$

para algunas constantes $C$, por lo que si una segunda solución existe, es único si tiene la misma condición inicial de lo contrario, es de la misma forma que la primera, sólo difieren por la multiplicativo constante.

Esta prueba se deriva de Grönwald del lexema.

La prueba mediante la Integración:

$$ x'(t) = x(t) \ffi \\ 0 = x'(t) - x(t) = \left( x'(t) - x(t) \right) \, e^{-t} = \frac{d}{dt} \left( x(t) \, e^{-t} \right) \ffi \\ x(t) \, e^{-t} = C \ffi \\ x(t) = C \, e^t $$

Esto se utiliza el factor de integración $e^{-t}$.