Si un cuadrado es de color rojo y azul, debe ser un camino rojo que conecta la parte superior e inferior, o un azul ruta de acceso de la conexión de la izquierda y la derecha?

Question

En el juego de tablero Hexagonal, los jugadores toman turnos para colorear hexágonos de color rojo o azul. Un jugador intenta conectar los bordes superior e inferior de la junta, de color rojo; el otro intenta conectar los bordes izquierdo y derecho, de color azul. Es sabido que un juego de Hex nunca terminará en un empate: no importa cómo se juega, siempre habrá un camino azul de conectar el azul de bordes, o un camino rojo que conecta los bordes rojos.

Mi pregunta es, si este hecho es siempre finita rejilla de hexágonos, que también mantenga en el avión? Si los bordes superior e inferior de un cuadrado son de color rojo, los bordes izquierdo y derecho son de color azul, y el interior de la plaza es de color de forma arbitraria, debe ser un camino rojo que conecta los bordes rojos, azules o ruta de acceso que conecta el azul de bordes?

Más formalmente, vamos a $S$ ser cualquier subconjunto de $[0, 1]^2$. $S$ se representan los puntos que son de color rojo. Debe ser una ruta de acceso dentro de $S$ cuyos extremos son de la forma$(x, 0)$$(x, 1)$, o una ruta de acceso dentro de $[0, 1]^2 - S$ cuyos extremos son de la forma$(0, y)$$(1, y)$?

Answer 1

Si la ruta de acceso es necesario para ser continua, la respuesta es no.

Desde $[0,1]$ es separable, sólo hay $2^\omega$ funciones continuas de $[0,1]$ a $[0,1]^2$; enumerar aquellos que producen caminos que conectan los lados opuestos de la plaza de la $\{\varphi_\xi:\xi < 2^\omega\}$. Para $\xi < 2^\omega$ recursivamente elegir los puntos de $p_\xi,q_\xi \in [0,1]^2$ como sigue. Supongamos que $\eta < 2^\omega$, y los puntos de $p_\xi$$q_\xi$, todas diferentes, han sido elegidos por todos los $\xi<\eta$. Claramente $$|\{p_\xi:\xi<\eta\}\cup\{q_\xi:\xi<\eta\}| < 2^\omega,$$ but $|\operatorname{ran}\varphi_\eta| = 2^\omega$, so we may choose distinct points $$p_\eta,q_\eta \in \operatorname{ran}\varphi_\eta \setminus \left(\{p_\xi:\xi<\eta\}\cup\{q_\xi:\xi<\eta\}\right),$$ and the construction goes through to $2^\omega$.

Ahora el color de los puntos del conjunto $\{p_\xi:\xi < 2^\omega\}$ azul y los del conjunto de $\{q_\xi:\xi < 2^\omega\}$ rojo; los puntos restantes de $[0,1]$ puede ser de color azul o rojo. A continuación, cada trayectoria continua en la unidad de la plaza pasa a través de al menos un punto de cada color.

Answer 2

Una respuesta a esto vino a mí como yo hoy estaba pensando en cómo podría describir la conexión a un laico. Ruta-conectividad es bastante fácil: un conjunto es el camino-conectados si, dados dos puntos en el juego, usted puede obtener de uno a otro siguiendo un camino dentro del conjunto. Si no me equivoco, la conectividad en el plano se puede definir como: un conjunto está conectado si usted no puede dibujar una curva que separa el conjunto en dos partes, de tal manera que la curva se encuentra totalmente fuera del conjunto.

Así, si tenemos un ejemplo de un conjunto que está conectado pero no de ruta de acceso conectados, debemos ser capaces de hacer de él un contraejemplo. Y, efectivamente, el topologist de la curva sinusoidal parece hacer el truco. Deje $S$ ser la gráfica de la función

$$f(x) =\frac12 + \frac14 \sin \left (\frac{1}{x - 1/2} \right), \text{ if $x \ne 1/2$}; \qquad 1/2, \text{ otherwise}.$$

Ya que esta función no es continua (y su gráfica no es trayectoria-conectado), es imposible ir desde el borde izquierdo al borde derecho mientras se alojan en el interior de $S$. Pero ya que la función del gráfico está conectado, es imposible ir desde el borde superior hasta el borde inferior mientras se alojan fuera de la función-si esto fuera posible, nos gustaría ser capaces de separar el gráfico en la parte a la izquierda de la curva, y la parte a la derecha de la curva, mostrando que la gráfica está desconectado.

Answer 3

Incluso es cierto que $I^{2}$ puede ser representado como una unión de dos conjuntos cerrados $S_{1}$ $S_{2}$ ninguno de ellos contiene una topológico arco que conecta dos los lados opuestos de la plaza. Aquí está un ejemplo posible.

Deje $D$ ser un disco cerrado en el interior de $I^{2}$ 4 discontinuo topológico espirales $J_{i}$ acostado en $I^{2}$ y homeomórficos a $[0,\infty)$, cada uno de ellos a partir de un lado diferente de la plaza y de la espiral de alrededor de $D$ de tal manera que $\overline{J_{i}}=J_{i}\cup\partial D$. Ahora espesar ligeramente cada una de las $J_{i}$ para obtener algunos de los $J_{i}^{\prime}\supset J_{i}$ homeomórficos a un cerrado de medio plano de tal manera que el $J_{i}^{\prime}$ son todavía discontinuo y en espiral alrededor de $D$. [$\overline{J_{i}^{\prime}}=J_{i}^{\prime }\cup\partial D$.] Para conseguir la supuesta representación de la plaza, es suficiente para establecer $S_{1}=(\cup_{i=1}^{4}J_{i}^{\prime})\cup D$ e $S_{2}=\overline {I^{2}\barra invertida S_{1}}$.