¿Compactación de piedra Cech de los naturales una imagen del cts de Cantor fijado?

Question

¿Se establece $\beta \mathbb{N}$, la compactación de Stone-Cech de $\mathbb{N}$, una imagen continua del Cantor?

Answer 1

El conjunto de Cantor tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$, y la compactación de la piedra – Čech de los números enteros tiene cardinalidad $2^{\mathfrak{c}}$. Por lo tanto, no hay ningún mapa de sobreyectiva de Cantor a $\beta\mathbb N$.

Answer 2

Un espacio de Hausdorff es la imagen continua de Cantor iff es metrisable compacto.

Answer 3

El conjunto de Cantor es secuencialmente compacto, ya que la compacidad es equivalente a la compacticidad secuencial para espacios metrizable. Si $\beta \mathbb{N}$ eran una imagen continua del mismo, entonces es secuencialmente compacta demasiado (un fácil ejercicio de topología de sistema del punto), pero como es muy bien sabido, este no es el caso.