Tengo esta pregunta en una tarea. Me senté con otras dos personas por un largo tiempo y derivamos el ejemplo de serie armónica alternancia, pero no creo que es válido porque el explícitamente la pregunta acerca de secuencias y series no.
Tenga en cuenta que es una clase de análisis y hasta el momento hemos cubierto conjuntos abiertos y cerrados y bolas, preimages y cluster puntos.
Tenga en cuenta que si usted ve una secuencia como un conjunto (que significa olvidar los pedidos en conjunto), el límite de la secuencia se convierte el punto de clúster único del conjunto (suponiendo que la secuencia converge). Puesto que el conjunto no depende del orden de la secuencia, el punto de racimo y por lo tanto el límite no tampoco.
No, el comportamiento de la secuencia no cambia cuando reorganización de sus términos. Como ejemplo, vamos a probar que si la secuencia de $(a_n)_n$ limit $a$, entonces cada reordenación de converge y con el mismo límite de $a$.
Considere la posibilidad de una reorganización de las $(a_n)_n$, es decir, una secuencia $\left(a_{\phi(n)}\right)_n$ donde $\phi:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ es un bijection.
Revisión arbitraria $\epsilon > 0$. Como $(a_n)_n$ es convergente a $a$ existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que para cada a $n \geq n_0$ tenemos $|a_n - a | < \epsilon$. Ahora, usted sabe que los únicos términos en $(a_n)_n$ que posiblemente violan la condición de $|a_n - a | < \epsilon$ están en el conjunto de $\{ a_1, a_2,\ldots , a_{n_0} \}$, de modo de tomar $n_1 = \max \{ n : 1\leq \phi(n) \leq n_0 \} + 1 $ será suficiente para tener por $|a_{\phi(n)} - a | < \epsilon$ por cada $ n \geq n_1$. Como $\epsilon$ era arbitraria, esto demuestra que $\left(a_{\phi(n)}\right)_n$ también converge a $a$.
Hagamos un estándar $\epsilon$$N$argumento.
Si $(a_n)$ es la secuencia original, entonces dado el $\epsilon\gt 0$, hay un $N$ tal eso si $N\lt n$ y $|a_n-a|\lt \epsilon$.
Ahora consideremos la secuencia permutado $(b_n)$, donde $b_n=a_{\pi(n)}$, permutación $\pi$ $\mathbb{N}$. Utilice el mismo $\epsilon$.
Que $N^\ast$ ser el máximo de $\pi(i)$, $i$ rangos de $1$ $N$. Si $n\gt N^\ast$, entonces el $|b_n-a|\lt \epsilon$.
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