Equivalente al $\ln\ln(N(\epsilon))$ $N(\varepsilon)$ Dónde está el mínimo de pelotas para cubrir $A$.

Question

Deje $E=\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ con la convergencia uniforme y $$A=\{f\in E\ |\ f(0) = 0\text{ and } \forall x,y\in[0,1]\ |f(x) - f(y)| \leqslant |x-y|\} $$

Para $\varepsilon >0$ denotar por $N(\varepsilon)$ el número mínimo de bolas de radio $\epsilon$ necesario para cubrir $A$.

Dar un equivalente a $\ln\ln(N(\epsilon)$ al $\varepsilon \rightarrow 0$.

(ENS oral)

Mi intento :

Deje $B$ la unidad de abrir la pelota,

Si $B \subset \bigcup_{n=1}^{N}B(x_n,\varepsilon)$ hemos $$ vol(B)<\sum_{n=1}^{N}vol(B(x_n,\varepsilon))<N\varepsilon^nvol(B) $$ Por lo $N\ge \frac{1}{\varepsilon^n}$. Entonces traté de construir una cubierta de $N$ bolas,

Elegimos $x_1 \in B$ si $B\subset B(x_1,\varepsilon)$ nos detenemos, si no elegimos $x_2\in B$ tal que $\vert\vert x_2-x_1\vert\vert > \varepsilon$

Parece que tenemos una inducción de aquí,

Supongamos que tenemos de construir $x_1,\cdots,x_{n-1} \in B$$\vert\vert x_i-x_j\vert\vert > \varepsilon$$i\ne J$. Si $B\subset B(x_j,\varepsilon)$ nos detenemos. Si no elegimos $x_n\in B$ tal que $\vert\vert x_n-x_i\vert\vert > \varepsilon$$i<n$.

Unfortunataly no veo cómo puedo continuar, me gustaría tener un marco.

Answer 1

Para los fines de asymptotics, basta considerar el caso de $\epsilon = 1/n$. Consideremos el conjunto a $PL(\epsilon)$ modelo lineal por tramos funciones que $f(0)=0$, y en cada intervalo de $[(k-1)\epsilon, k\epsilon]$ el derivado $f'$ es $\equiv 1$ o $\equiv -1$. Hay $2^n$ tales funciones. Yo reclamo que por cada $f\in A$ hay $g\in PL(\epsilon)$ tal que $\|f-g\|\le \epsilon$.

La definición de $g$ es inductivo. Deje $g(0)=0$. Para $k=1,\dots,n$ deje $g(k\epsilon)$ ser uno de los números de $g((k-1)\epsilon)\pm \epsilon$ que está más cerca de a $f(k\epsilon)$. Si son equidistantes, tener cualquiera.

Ahora vamos a ver que $|g(k\epsilon)-f(k\epsilon)|\le \epsilon$ todos los $k$, de nuevo por inducción. El caso base es clara. Asumiendo $|f-g|$ es en la mayoría de las $\epsilon$$(k-1)\epsilon$, tenemos $$|f(k\epsilon) - g((k-1)\epsilon)|\le 2\epsilon$$ The choice of $g(k\epsilon)$, according to the definition, brings the difference $|f(k\epsilon) - g(k\epsilon)|$ down to at most $\epsilon$.

Lo voy a dejar para que usted compruebe que el $|f(x)-g(x)|\le \epsilon $ tiene para todos los $x$ (lo cual es cierto); por supuesto, usted puede estar satisfecho con el sencillo vinculado $|f(x)-g(x)|\le 2\epsilon $.

Para el límite inferior, basta tener en cuenta que los dos elementos de la $PL(\epsilon)$ a pie $\ge \epsilon$ unos de otros. Por lo tanto, $N(\epsilon/2)\ge 2^n$.

En conclusión, $$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\ln \ln N(\epsilon)}{ \ln(1/\epsilon)}=1 $$