Contraejemplo de un lema sobre módulos

Question

Sea R un anillo con identidad y no necesariamente comutativo. Que $M_1, M_2$ dejarse $R$-módulos submódulos $S_1, S_2$ respectivamente tales que $M_1/S_1 \cong M_2$ y $M_2/S_2 \cong M_1.$ ¿es necesariamente cierto que $M_1\cong M_2$? ¿Qué pasa si asumimos también los módulos son finitamente generados?

Es cierto en el caso del espacio del vector cuando $R$ es un campo, pero lo dudo es cierto generalmente. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar un contraejemplo?

Answer 1

Pregunte si los módulos equivalentes de epi son isomorfos. Encontrar condiciones suficientes en el papel de las clases correctas de módulos por R. Wisbauer. Pero en general no puede, por ejemplo $R/I \oplus R^{\oplus \mathbb{N}}$ tiene un epimorphism $R^{\oplus \mathbb{N}}$, que tiene un epimorphism $R/I \oplus R^{\oplus \mathbb{N}^+} \cong R/I \oplus R^{\oplus \mathbb{N}}$, pero (generalmente) no son isomorfos.