¿Encontrar a $n\dim B$ linealmente independientes inversible matrices en $M(n,B)$?

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Si $A$ es finito-dimensional $k$-álgebra, a continuación, una representación mínima de $A$ es una representación de un mínimo de $k$-dimensión. Mostrar que si $B$ es finito-dimensional de la división de álgebra$k$$A=M(n,B)$, entonces la acción de la $A$ $B^n$ es una representación mínima.

Para mostrar esto, necesitamos demostrar que si tenemos alguna representación $A\to\text{End}(V)$ $k$espacio $V$,$\dim V\ge n\dim B$. Voy a escribir este mapa como $E\mapsto\varphi_E$$E\in A$. Ahora, si supongo que $A$ $nm$ linealmente independientes invertible matrices $E_1,\dots,E_{nm}$ donde$m=\dim B$, entonces voy a hacer. Si se toma un valor distinto de cero $v\in V$, dejo $v_i=\varphi_{E_i}(v)$, entonces esto es distinto de cero desde $\varphi_{E_i}$ es invertible (desde $E_i$ es), y puedo demostrar que $\{v_1,\dots,v_{nm}\}$ es linealmente independiente utilizando la independencia lineal de $E_1,\dots,E_{nm}$$A$.

Así que mi problema radica ahora en la búsqueda de $nm$ linealmente independientes, es invertible elementos de $A$ (el último de los cuales es el mismo que $\det E\neq0$ desde $B$ es una división de álgebra). ¿Alguien tiene una sugerencia sobre cómo obtener estos?

Answer 1

Su estrategia no es la correcta. A la conclusión de que la $\{v_1,\dots,v_{nm}\}$ son linealmente independientes que necesitan saber no sólo que el $E_{ij}$ es invertible y linealmente independientes, pero que cada distinto de cero combinación lineal de ellos es invertible. Esto equivale a encontrar una división de álgebra de dimensión$mn$$A$, lo cual no es siempre posible (considere el caso de $k=B=\mathbb{R}$$n=3$, por ejemplo).

Aquí es lo que yo sugeriría en su lugar. Tenga en cuenta que $B$ incrusta en $A$ como los múltiplos de la matriz identidad, por lo que cualquier representación de $A$ $B$- módulo. Ahora tenga en cuenta que si $e_{ij}$ es la matriz con $ij$ entrada $1$ y todas las demás entradas de $0$, entonces si $M$ cualquier $A$-módulo, a continuación, como una $B$-módulo de $M$ divisiones como la suma directa de las $B$-submódulos $e_{ii}M$ $i=1,\dots,n$ (desde el $e_{ii}$ formar una familia ortogonal de idempotents en $A$, que conmuta con los elementos de $B$). Por otra parte, estos $B$-módulos de $e_{ii}M$ son todos isomorfos , ya que la multiplicación por $e_{ij}$ da isomorphisms entre ellos. Así que esto significa que como un $B$-módulo, $M$ es una suma directa de $n$ isomorfo submódulos. Así que si $M$ es trivial, la dimensión de la $M$ $B$ debe ser de al menos $n$.