Calcular longitud de arco de una curva, pegado en la parte de dy/dx (álgebra sobre todo)

Question

La ecuación es: $$x=\frac{1}{8}y^4 + \frac{1}{4}y^{-2},\qquad 1\leq y\leq 2.$$

Tengo la fórmula. No estoy seguro de cómo escribirlo, pero esto es lo que dice:

La longitud es igual a la integral (con $b$ $a$ por los límites) de la raíz cuadrada de $1+(dy/dx)^2 dx$

Así que primero tomó la derivada de la ecuación y consiguió $(1/2)y^3 - (1/2)y^{-3}$.

Ahora, cuando me conecte de nuevo en la fórmula, tengo a la plaza y me metí $(1/4)y^6 - (1/4)y^{-6}$. Yo tomarse un $1/4$ y se convirtió en el $y^{-6}$ a $1/y^6$. Un desastre en este punto, que no le parece correcto. Alguien me puede ayudar con eso? Jaja sé que es ridículo, pero mi álgebra habilidades son insuficientes.

Answer 1

Que el cuadrado de la forma incorrecta. El cuadrado de $a-b$ no $a^2-b^2$. (También, usted debe utilizar $\frac{dx}{dy}$, no $\frac{dy}{dx}$, porque aquí su variable independiente es $y$ y su variable dependiente es $x$; su integral va a ser con respecto a la $y$, con respecto al $x$).

El cuadrado de $\displaystyle\frac{1}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^{-3}$ no es sólo la diferencia de los cuadrados (que es lo que escribió). Más bien, es igual a: $$\left(\frac{1}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^{-3}\right)^2 = \frac{1}{4}y^6 - 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)y^3y^{-3} + \frac{1}{4}y^{-6} = \frac{1}{4}y^6+\frac{1}{4}y^{-6} - \frac{1}{2}.$$ Cuando se agrega $1$, se obtiene $$\frac{1}{4}y^6 + \frac{1}{4}y^{-6} + \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{2}y^{-3}\right)^2.$$

Recuerde: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2$, e $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. El cuadrado de la suma no es la suma de los cuadrados.