¿Variables aleatorias $X \in \mathbb{R}^h$ y una matriz semi definida positiva $A$: hay una expresión simplificada de valor esperado, $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ y varianza, $Var[Tr(X^TAX)]$? Tenga en cuenta que $A$ no es una variable aleatoria.
Respuesta
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Tenga en cuenta que $\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$ así que $\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}\text{E} XX A ^ T = $ \text{Tr}(A\text{E}(XX^T)).
Aquí hemos usado que el rastro de un producto son invariantes bajo permutaciones cíclicas de los factores, y que el rastro es un operador lineal, así que conmuta con expectativa. La varianza es un cálculo mucho más, que también necesitan algunos momentos más altos de $X$. Que el cálculo puede encontrarse en Seber: "Análisis de regresión lineal" (Wiley)
