Cómo integrar la ecuación diferencial para el problema del péndulo

Question

El movimiento de un péndulo es descrito por la ecuación diferencial

$$ \ddot\theta +\frac gl \sin \theta = 0$$

Si integramos esta ecuación con respecto a los $\theta$ obtenemos

$$ \frac 12 \dot \theta ^2 - \frac gl \cos \theta = C $$

¿Alguien por favor arrojar alguna luz sobre cómo integrar el primer término? Parece que: $$\int \ddot \theta\,d\theta = \frac 12 \dot \theta ^2$ $

O en otras palabras
$$\int \frac {d^2\theta}{dt^2}\,d\theta = \frac 12 (\frac {d\theta}{dt})^2$$

Realmente no comprarlo

Answer 1

Hay un ordenado el truco para que el uso de de la cadena de la regla. Recuerda esto de una vez por todas. Tenemos

$$\ddot \theta (t) + {g \over l}\sin \left( {\theta \left( t \right)} \right) = 0$$

donde es una no lineal de segundo orden de la ecuación diferencial. Wow, parece un poco de miedo, ya que no tienen linearty. Esta es la manera de abordar esta abajo

$$\ddot \theta (t) = {{{d^2}\theta } \over {d{t^2}}} = {d \over {dt}}\left( {{{d\theta } \over {dt}}} \right) = {d \over {d\theta }}\left( {{{d\theta } \over {dt}}} \right){{d\theta } \over {dt}} = \dot \theta {d \over {d\theta }}\left( {\dot \theta } \right) = {d \over {d\theta }}\left( {{1 \over 2}{{\dot \theta }^2}} \right)$$

a continuación, poner esto en la ecuación e integrar con respecto a $\theta $.

Solo quiero decir una cosa más. Cuando se utiliza el trabajo-el teorema de la energía, obtener directamente el integrado de la forma que quería. ¿Sabes por qué sucede esto? Es porque el trabajo-el teorema de la energía no es más que la integración de la segunda ley de newton. Si usted cava en la prueba de trabajo-energía teorema para una partícula, se puede entender lo que quiero decir.

Answer 2

Multiplicar la ecuación por $\dot{\theta}$:

$$\dot{\theta}\, \ddot{\theta} +\frac{g}{\ell} \dot{\theta} \sin{\theta} = 0$$

Integrar con respecto a los $t$.

$$\int dt \, \dot{\theta}\, \ddot{\theta} = \int d\dot{\theta} \, \dot{\theta} = \frac12 \dot{\theta}^2 + C$$

$$\int dt\, \dot{\theta} \sin{\theta} = \int d\theta \, \sin{\theta} $$

Answer 3

Sigue de la regla de la cadena,

$$ \frac{d}{dt} = \frac{d\theta}{dt} \frac{d}{d\theta} = \dot{\theta} \frac{d}{d\theta},$$

$$ \ddot{\theta} = \dot{\theta}\frac{d}{d\theta} \dot{\theta} = \frac12 \frac{d}{d\theta} \left( \dot{\theta}^2 \right). $$

Me gustaba el anterior demasiado como estudiante porque se parece a ana abuso de notación. Una forma de pensar es si la ruta es monótona, entonces yo puedo parametrizar el derivado en el valor de $\theta$, es decir, es posible escribir $\dot{\theta}=g(\theta)$.

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Otra manera de pensarlo es un cambio de variable de integración. Podemos cambiar $t\rightarrow \theta(t)$ lo $\theta$ es monótono.

$$ \int \ddot{\theta} dt \rightarrow \int \ddot{\theta} \dot{\theta} d\theta = \int \frac12 \frac{d}{dt}(\dot{\theta})^2 d\theta$$