No me queda claro en qué se basa para afirmar que $g(x)b=f(x)$ tendrá más de una solución para $x$ . Incluso asumiendo que $K$ fueran algebraicamente cerradas, ¿cómo se sabe que no se tiene una solución que sea una solución múltiple? Para un ejemplo muy sencillo, considere el caso de $K=\mathbf{F}_2$ , el campo con dos elementos, y tomar $g(x) = x^2+x+1$ y $f(x)=x$ . Entonces $g(x)0 = f(x)$ tiene una solución ( $x=0$ ) y $g(x)1 = f(x)$ tiene una solución ( $x=1$ ), por lo que no se deduce simplemente de los grados de $f$ y $g$ El problema es que hay más trabajo por hacer. No sé con certeza si se puede impulsar, pero tienes razón en que el primer paso es demostrar que los grados tienen que ser como máximo uno.
Conozco dos pruebas: una forma directa y otra inteligente. La forma directa es empezar como tú, con $\theta(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ con $f$ y $g$ coprime. Entonces considere un $\alpha = p(x)/q(x)$ con $p$ y $q$ coprime. Si se escribe $f(x) = a_nx^n+\cdots +a_0$ y $g(x)=b_nx^n+\cdots+b_0$ con $a_n$ y $b_n$ no ambos cero, y se escribe $p(x) = c_mx^m+\cdots+c_0$ , $q(x) = d_mx^m+\cdots+d_0$ con $c_m$ y $d_m$ no sean ambos cero, entonces se puede pensar en los grados del numerador y del denominador de $\theta(\alpha)$ . Intenta pensar en lo que necesitarías para que los grados bajen después de aplicar $\theta$ para concluir la información sobre lo que puede mapear a $x$ en $\theta$ . De ahí saldrá lo que quieras. Esta prueba consiste básicamente en trabajar las cosas de manera obvia hasta llegar a donde se quiere.
Detalles añadidos. Escoge cualquier $\alpha=p(x)/q(x)$ que se escribe como arriba; entonces $$\begin{align*} \theta(\alpha) &= \frac{c_m\theta(x)^m + \cdots + c_0}{d_m\theta(x)^m+\cdots + d_0}\\ &= \frac{c_mf^mg^0 + \cdots + c_0g^m}{d_mf^mg^0+\cdots + d_0g^m}. \end{align*}$$ Afirmo que esto está escrito en términos más bajos: ya que $p$ y $q$ son coprimos, podemos encontrar polinomios $r(x)$ y $s(x)$ con coeficientes en $K$ tal que $r(x)p(x)+q(x)r(x) = 1$ . Aplicando $\theta$ y despejando denominadores, obtenemos una combinación lineal de $$c_mf^mg^0+\cdots + c_0g^m\quad\text{and}\quad d_mf^mg^0+\cdots+d_0g^m$$ que es igual a alguna potencia de $g$ Por lo tanto, si hay algún factor común entre el numerador y el denominador, debe ser un divisor de una potencia de $g(x)$ . Pero dejemos $k(x)$ sea un divisor de $g$ que divide el numerador y el denominador de $\theta(\alpha)$ . Dado que cualquiera de los dos $c_m\neq 0$ o $d_m\neq 0$ entonces $k(x)$ debe dividir $f^m(x)$ . Desde $g(x)$ y $f(x)$ son relativamente primos, se deduce que $k(x)=1$ . Así, la función racional $\theta(\alpha)$ ya está expresado en términos mínimos.
El grado del numerador de esta fracción es como máximo $mn$ y es estrictamente menor que $mn$ si y sólo si el coeficiente de $x^{mn}$ que es $c_ma_n^m +c_{m-1}a_n^{m-1}b_m+ \cdots + c_0b_n^m$ desaparece. El denominador tiene grado como máximo $mn$ y el grado es estrictamente menor si y sólo si el coeficiente de $x^{mn}$ en la expresión, que es $d_ma_n^m + \cdots + d_0b_n^m$ es igual a $0$ .
Supongamos primero que $b_n\neq 0$ . Entonces el numerador tiene un grado estrictamente menor que $mn$ si y sólo si $\frac{a_n}{b_n}$ es una raíz de $p(x)$ y el grado del denominador es estrictamente menor que $mn$ si y sólo si $\frac{a_n}{b_n}$ es una raíz de $q(x)$ . Como estos dos polinomios son coprimos, no pueden tener una raíz común; por lo tanto, no podemos tener tanto el numerador como el denominador de grado estrictamente menor que $mn$ por lo que al menos uno de ellos tiene un grado exacto $mn$ .
Supongamos a continuación que $b_n=0$ . Entonces el numerador tiene un grado estrictamente menor que $mn$ si y sólo si $c_ma_n^m=0$ que requiere $c_m=0$ desde $b_n$ y $a_n$ no son ambos iguales a cero. Del mismo modo, el grado del denominador es estrictamente menor que $mn$ si y sólo si $d_ma_n^m=0$ que requiere $d_m=0$ . Pero como no podemos tener ambas cosas $c_m$ y $d_m$ igual a cero, al menos uno de los numeradores y denominadores tiene grado exactamente $mn$ .
Desde $\theta$ se supone que es un isomorfismo, tiene que haber un $\alpha$ tal que $\theta(\alpha)=x$ . Procediendo como en el caso anterior, como la expresión está escrita en términos mínimos y el grado de al menos uno de los numeradores y denominadores es $mn$ se deduce que debemos tener $mn=1$ o $m=n=1$ . Es decir, $\theta$ debe definirse como $$\theta(x) = \frac{ax+b}{cx+d},$$ con $ax+b$ y $cx+d$ coprime, $a$ y $c$ no son ambos iguales a cero.
A partir de aquí es sencillo terminar el problema. $\Box$
La segunda prueba que conozco es la "prueba inteligente". De nuevo, toma $\theta(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ como tú. Tenga en cuenta que $\theta(x)\notin K$ . Demostrar que $\theta(x)$ es trascendental sobre $K$ demostrando que $x$ es algebraico sobre $K(\theta(x))$ y encontrar su polinomio irreducible. A continuación, utilice el hecho de que $K(\theta(x))$ es isomorfo a $K(x)$ para deducir que el polinomio irreducible debe ser de grado $1$ . El polinomio irreducible resulta estar estrechamente relacionado con $f$ y $g$ Por supuesto. (También me gusta el hecho de que el Lemma de Gauss entra en juego para mostrar que el polinomio obvio satisfecho por $\theta(x)$ es, de hecho, irreducible en el campo que estás viendo).
El argumento procede como sigue: de nuevo, elija cualquier $\beta = p(x)/q(x)$ escrito en términos mínimos. El polinomio $\beta q(y) - p(y)\in K(\alpha)[y]$ tiene $x$ como raíz, por lo que $x$ es algebraico sobre $K(\beta)$ (ya que $p$ y $q$ son coprimos, el polinomio no es igual a $0$ ). De ello se desprende que $\alpha$ es trascendental sobre $K$ . Afirmo que el polinomio $\beta q(y)-p(y)$ es irreducible en $K(\beta)[y]$ . De hecho, este polinomio es irreducible sobre $K(\beta)[y]$ si y sólo si es irreducible sobre $K[\beta][y]$ por el lema de Gauss; pero $K[\beta][y]=K[y][\beta]$ y este polinomio es trivialmente irreducible sobre $K[y][\beta]$ porque es lineal en $\beta$ y los dos coeficientes son relativamente primos en $K[y]$ . Por lo tanto, $[K(x):K(\beta)] = \max(\deg(p),\deg(q))$ .
Por lo tanto, si $\theta$ definido por $\theta(x)=\beta$ da un automorfismo, entonces debemos tener $1=[K(x):K(\beta)] = \max(\deg(p),\deg(q))$ . Por lo tanto, $\theta(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ y el argumento termina como antes. $\Box$
