Probar la divisibilidad en la secuencia de Fibonacci sobre un número primo

Question

En la secuencia de Fibonacci la cual se define como:

Permite decir que tenemos el número $p$ que es un primo impar.

1. Demostrar que:

   Es divisible por $F_{p-1} + F_{p+1} -1$ $p$.

2. Demostrar que para cualquier entero positivo real dado $n$:

   Es divisible por $F_{p^{n+1}-1} + F_{p^{n+1}+1} -(F_{p^{n}-1} + F_{p^{n}+1})$ $p^{n+1}$

¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Voy a probar el $1^\text{st}$ declaración. Deje $(\frac{a}{p})$ ser el símbolo de Legendre de $a$$p$.

Teorema de Legendre y de Lagrange. Deje $p$ ser un extraño prime. Entonces

$$F_{p-1} \equiv \frac{1-(\frac{p}{5})}{2} \pmod p \quad \text{and} \quad F_{p+1} \equiv \frac{1+(\frac{p}{5})}{2} \pmod p.$$

Prueba. Usted puede encontrar el teorema en este papel de Zhi-Hong Sol en la página de $4$ y la prueba del teorema en la página de $5$.

Directamente desde el teorema de Legendre y de Lagrange tenemos que $F_{p-1} + F_{p+1} \equiv 1 \pmod p$ por cada extraño $p$ prime, que es equivalente a la de su primera declaración.