Derivado del producto cruzado de dos vectores

Question

¿En la búsqueda de la derivada del producto Cruz de dos vectores $\frac{d}{dt}[\vec{u(t)}\times \vec{v(t)}]$, es posible encontrar el producto cruzado de dos vectores primero antes de diferenciar?

Answer 1

Usted puede evaluar esta expresión en dos formas:

• Usted puede encontrar el producto cruzado en primer lugar, y luego se diferencian.
• O puede utilizar la regla del producto, que funciona bien con el producto cruzado:

$$ \frac{d}{dt}(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \frac{d\mathbf{u}}{dt} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \frac{d\mathbf{v}}{dt} $$

Escoger un método depende del problema en cuestión. Por ejemplo, el producto se usa la regla para derivar Frenet Serret fórmulas.

Answer 2

Desde los primeros principios:\begin{aligned}\vec{u}\left(t+\delta t\right)\times\vec{v}\left(t+\delta t\right)-\vec{u}\left(t\right)\times\vec{v}\left(t\right) & =\vec{u}\left(t+\delta t\right)\times\vec{v}\left(t+\delta t\right)-\vec{u}\left(t\right)\times\vec{v}\left(t+\delta t\right)+\\ & =\vec{u}\left(t\right)\times\vec{v}\left(t+\delta t\right)-\vec{u}\left(t\right)\times\vec{v}\left(t\right)=\\ & =\left[\vec{u}\left(t+\delta t\right)-\vec{u}\left(t\right)\right]\times\vec{v}\left(t+\delta t\right)+\\ & =\vec{u}\left(t\right)\times\left[\vec{v}\left(t+\delta t\right)-\vec{v}\left(t\right)\right] \end{alineado} ahora divida por $\delta t$ y tener como $\delta t\to 0$

Por otro lado $$\frac{d}{dt}\left|\begin{array}{ccc} i & j & k\\ v_{x} & v_{y} & v_{z}\\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k\\ \frac{dv_{x}}{dt} & \frac{dv_{y}}{dt} & \frac{dv_{z}}{dt}\\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} i & j & k\\ v_{x} & v_{y} & v_{z}\\ \frac{du_{x}}{dt} & \frac{du_{y}}{dt} & \frac{du_{z}}{dt} \end{array}\right|$$ usando la regla de la diferenciación de un determinante. Una aplicación útil de la misma es en la prueba de la identidad de Abel (que antes de Wikipedia fue conocido por mi como fórmula de Ostrogradski-Liouville)