Los diagramas conmutativos son, en pocas palabras, una forma (muy) práctica de escribir sistemas de ecuaciones en categorías. En lugar de tener hileras de símbolos y empujar símbolos, se razona de forma diagramática y geométrica.
En cuanto a sus preguntas, no estoy seguro de entenderlas todas, así que puede que mi respuesta esté muy equivocada, pero allá va.
¿Qué "supuestos de fondo" son necesarios para que un diagrama conmutativo tenga un sentido concreto?
Sin ponernos (demasiado) técnicos, los diagramas en categorías son grafos orientados en los que los vértices se etiquetan con objetos y las aristas con flechas, y a cada camino le asociamos la flecha compuesta. El problema es que el compuesto no está bien definido en presencia de bucles, por ejemplo, pensemos en un único vértice con dos bucles etiquetados f y g: ¿denota el compuesto fg o gf? Si su grafo etiquetado no tiene bucles, entonces está todo listo.
Nota: hacer todo esto formal y riguroso es una faena y para ganar poco. Una forma posible es definir diagramas de forma $G$ (un gráfico, por ejemplo un cuadrado) en una categoría $A$ como functores $FG\to A$ donde $FG$ es la categoría libre en el gráfico. Entonces un diagrama conmutativo de una forma $G$ es un functor $FG/R \to A$ donde $FG/R$ denota el cociente de $FG$ por una congruencia $R$ que "fuerza" la conmutatividad, es decir, la igualdad de ciertos (todos) los pares paralelos de caminos. Entonces se puede definir el encolado de diagramas a lo largo de un diagrama común como un cierto empuje, lo que permite demostrar que si las piezas más pequeñas de un diagrama son conmutativas, entonces el conjunto también lo es, etc.
¿Qué convenciones se utilizan? (por ejemplo, para la existencia y unicidad de flechas)
No estoy seguro de entender lo que está tratando de preguntar aquí. ¿A qué problema de existencia y unicidad se refiere? La existencia y unicidad de un compuesto asociado a un camino se trató en la respuesta anterior.
¿Cuándo es importante etiquetar los objetos y las flechas?
A menos que no haya ambigüedad sobre qué flechas y objetos estás mencionando (o simplemente no los necesites), siéntete libre de no etiquetar el gráfico. En mi experiencia, esto ocurre muy pocas veces, así que tiendo a etiquetarlo casi todo.
¿Cuándo son necesarias las explicaciones verbales?
Aquí no hay ninguna regla general. Lo mejor que puedo ofrecer es usar el sentido común y conocer a su público objetivo.
¿Significan algo todos los diagramas imaginables?
No, véase mi primera respuesta.
¿Existen análogos (gráficos) de los diagramas conmutativos para otras estructuras (relacionales o algebraicas) distintas de las categorías?
Sí, existe un cálculo gráfico bastante sofisticado para categorías monoidales trenzadas con duales que implican enredos. También hay generalizaciones de mayor dimensión de diagramas a n-categorías, pero aquí los problemas de asignar un compuesto consistente a la correspondiente noción de grafo son mucho más difíciles y su utilidad computacional es bastante limitada por razones que deberían ser obvias. Incluso los 2-diagramas en 2-categorías son ya muy engorrosos. En realidad, ésta es una de las razones por las que las categorías de mayor dimensión son intrínsecamente más difíciles: no se dispone de un práctico cálculo gráfico y calcular cualquier cosa puede ser desde un dolor de muelas hasta un dolor en el (inserte aquí región corporal ultrasensible).
Espero que le sirva de ayuda, saludos. G. Rodrigues
