% De funciones mensurables de Borel $f:[0,1]\to[0,\infty)$que no puede ser expresado como límite de pointwise de la secuencia nondecreasing de las funciones de paso

Question

Un intervalo en que este problema puede ser abierto, cerrado o semi-abierta. Consideramos que un singleton $\{a\}$ como ser un intervalo.

Una función de paso es una verdadera valores de la función en $\mathbb{R}$ que es una combinación lineal de funciones características de los intervalos. Cómo hago para mostrar que hay Borel medible funciones de $f: [0,1] \to [0, \infty)$ que no puede ser expresado como la pointwise límite de una secuencia no decreciente de paso de las funciones? Como con progressm sé que quiero mostrar que hay Borel medible funciones de $f: [0,1] \to [0, \infty)$ de manera tal que no existe una secuencia de paso de las funciones de $\{s_n\}$ $s_n(x) \le s_{n+1}(x)$ por cada $x$$\lim_{n \to\infty} s_n(x) = f(x)$. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Que $f:[0,1]\to[0,\infty)$ dado por %#% $ #% si $$f(x)=\begin{cases} 0 &; x\in\mathbb{Q} \\ 1 &; x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ es una función escalón, $0\leq s\leq f$ es distinto de cero para a lo más finito muchos puntos. Por lo tanto, cualquier límite bien definido $s$ de paso funciones $\lim_{n\to\infty}s_n$ es distinto de cero para a lo más contable muchos puntos y por lo tanto, no es iguales a $0\leq s_n\leq f$.

Answer 2

Supongamos que $s$ es una función de paso. Entonces para cualquier $a \in \mathbb R$ el conjunto $\{s > a\} = \{x \in \mathbb R : s(x) > a\}$ está vacío o de un número finito de unión de intervalos. Ya que todos los intervalos son $F_\sigma$ conjuntos, por lo que es $\{s > a\}$.

Ahora supongamos que $s_n \nearrow f$. Entonces para cualquier $a \in \mathbb R$$\{f > a\} = \bigcup_n \{s_n > a\}$, de modo que $\{f > a\}$ es una contables de la unión de $F_\sigma$ establece que es de nuevo un $F_\sigma$.

Si $f$ es Borel medible y $\{f > a\}$ no es un $F_\sigma$, usted tendrá el ejemplo que usted necesita. Como las otras respuestas, el indicador de función de la irrationals es una función de este tipo.

Answer 3

Deje $f: [0,1] \to [0, \infty)$ ser la función característica del conjunto de irrationals en $[0, 1]$. Suponga que existe una secuencia no decreciente de paso las funciones de $\{s_n\}$ convergentes pointwise a $f$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $n \ge 0$. Desde racionales son densos y $\{s_n\}$ es no decreciente de la secuencia de paso de las funciones, $s_n(x)$ podría ser positivo sólo para un número finito de puntos de $($irrationals$)$. Por lo tanto $\lim_{n \to \infty} s_n(x)$ podría ser positivo sólo para countably muchos puntos, lo cual es una contradicción ya que irrationals son innumerables.