¿La definición de ordinales contables requiere el axioma del conjunto de potencias?

Question

Estoy tratando de entender las consecuencias de los diferentes axiomas de ZFC. En particular, estaba tratando de entender lo que se obtiene en ZFC-power set (ZFC menos el axioma de power set). Si tienes alguna referencia que pueda leer por favor házmelo saber. En particular, tengo una pregunta. A partir de la definición de número ordinal (por ejemplo, Jech, p.19 y superiores) creo que no se necesita el axioma del conjunto de potencias para definir infinitos ordinales más allá de $\omega$ pero no estoy completamente seguro. Si no lo necesita, ¿cuál es el ordinal más grande que puede alcanzar sin usar el conjunto de potencia? puede alcanzar $\omega_1$ ?

Answer 1

Puede que le interese mucho el siguiente documento:

Victoria Gitman, Joel David Hamkins, Thomas A. Johnstone, ¿Qué es la teoría ZFC sin conjunto de energía? (arXiv, 2011)

Tenga en cuenta que no puede demostrar la existencia de $\omega_1$ tampoco, esto se debe a que $H(\omega_1)$ el conjunto de los conjuntos hereditariamente contables contiene todos los ordinales contables, y es un modelo de $\sf ZFC-Pwr$ pero $\omega_1\notin H(\omega_1)$ porque no es heredable.