¿Derivan $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma m\mathbf{v}) = e\mathbf{E}$ principios elementales?

Question

Experimentalmente se sabe que la ecuación de movimiento para un % de carga $e$moviéndose en un campo eléctrico estático $\mathbf{E}$ viene dado por:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma m\mathbf{v}) = e\mathbf{E}$$

¿Es posible mostrar esto usando sólo las leyes de Newton del movimiento para el correcto marco de $e$, argumentos de simetría, las transformaciones de Lorentz y otros principios adicionales?

Answer 1

El principio "firstest" que conozco es el principio de mínima acción. Así que empecemos con ella. La acción de una partícula cargada en campo electromagnético externo es: $$S=\int_a^b\left(-mc\,ds-\frac{e}{c}A_\mu dx^\mu\right)$ $ la integración tiene que ser a lo largo del worldline de una partícula con extremos $a$ y $b$. Ahora, sustituyendo:$$ ds=\sqrt{c^2-v^2}dt,\quad A_\mu=(\phi,0,0,0),\quad dx^0=c\,dt $$S=\int_{t_a}^{t_b}\left(-mc\sqrt{c^2-v^2}-e\phi\right)dt$ $ la expresión en llaves es simplemente un Lagrangiano, por lo que hacer cosas ordinarias de Euler-Lagrange.$$ L = -mc\sqrt{c^2-v^2}-e\phi,\quad \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}= \gamma m \mathbf{v}\,\quad \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=e\mathbf{E}$$

$$\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}) = e\mathbf{E}}$$

Answer 2

Creo que esto es mucho más simple que usted sospecha. Es 2 realmente sólo Newton º ley y reconocer el concepto de impulso.

$$\frac{d}{dt} (\gamma mv) = \frac{dp}{dt} = F = eE$$

(Ya que clásicamente la $E$ del campo eléctrico es definido como el % de fuerza $F$dividida por la carga elemental $e$.)

Answer 3

Esto se obtiene de las ecuaciones de movimiento en forma lagrangiana o hamiltoniana. Por ejemplo la ecuación de Hamilton del movimiento son

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{r} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}}$$

Es el hamiltoniano para una partícula relativista masiva con carga $e$ en un % potencial escalar externo $\phi$

$$H = \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} + e \phi$$

Sustituyendo al hamiltoniano en las ecuaciones de movimiento que se obtiene

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{r} = \mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m \gamma}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{p} = - e \left( \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{r}} \right)$$

La sustitución de la primera a la segunda y que denota $\mathbf{E} \equiv -{\partial \phi}/{\partial \mathbf{r}}$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (m \gamma \mathbf{v}) = e \mathbf{E}$$

Answer 4

Es bastante sencillo. Sin embargo, si por alguna razón quieres una explícita formulación relativista, echa un vistazo a la fuerza de Lorentz de la ley: $$\frac{{\mathrm d}p^\mu}{{\mathrm d}\tau} = ev_\nu F^{\mu\nu}$$ Para el derivado con respecto a la coordenada de tiempo que usted desea, nosotros tenemos que multiplicar a través de por $dτ/dt = 1/\gamma$. Pero para una constante del campo eléctrico en coordenadas Cartesianas, el único distinto de cero componentes de $F^{\mu\nu}$ $F^{0a} = -F^{a0}$ = 1,2,3, que son el campo eléctrico de los componentes. Por lo tanto, sólo el $v_0 = \gamma$ plazo puede contribuir, cancelando el factor traídos por la dilatación del tiempo factor. QED.

Answer 5

No, no es posible derivar el total relativista de la ley, porque en el límite newtoniano de la electrostática y gravitostatics son idénticos, pero el potencial electrostático es completamente diferente de la potencial gravitatoria en la relatividad.

La forma más fácil de que la generalización de Newton nonrelativistic ley:

$${dp\over dt} = e \nabla(\phi)$$

es tener un cuatro dimensiones escalar de Higgs-tipo de campo $\phi$, el relativista de la ecuación de movimiento para una partícula con un acoplamiento e de la partícula de Higgs es

$${d\over d\tau}( (m+e\phi(x)) p_\mu) = e \partial_\mu \phi$$

En el límite de la casi constante $\phi$ (o pequeña e) y pequeñas velocidades, este reproduce la ley del cuadrado inverso, y la fuerza es el gradiente de la partícula de Higgs.

Para conseguir EM, tienes que asumir que $\phi$ es un cero de los componentes de un cuatro-vector. Este es el caso, y no voy a hablar de ello.

El otro caso destacable es el al $\phi$ es el cero-cero de los componentes de un tensor. El especial relativista de la ecuación de movimiento es el lineal ecuación geodésica

$${d \over d\tau} v_{\mu} = (\partial_\mu h_{\nu\sigma} - {1\over 2}\partial_\mu h_{\mu\nu} ) v^{\mu}v^{\nu}$$

Y esta es otra de generalización lineal de la Relatividad General, que se reproduce a la inversa del cuadrado comportamiento de la lentitud de la velocidad, a partir de la pendiente de $h_{00}$. Puedes descartar posibilidades 1 y 3 por la observación de que hay repulsión entre las cargas, pero esto requiere que las ecuaciones de Maxwell, y se le pide que lo haga de la fuerza de la ley.