Relacionados con Euler característico, intersección producto, teoría de Morse (plus SU(2) y 3-variedades)

Question

Supongamos que tenemos un (cerrado, orientado a) 3-variedad M con un Heegard superficie F de género g. Vamos a F* denotan F con un pinchazo. A continuación, el espacio H de representaciones de pi_1(F*) en SU(2) es sólo SU(2)^2g, y la representación de los espacios de los dos handlbodies sentarse en el interior H. Llamar a estos espacios Q_1 y Q_2 -- siempre vamos a pensar en ellos como los subespacios de H. Finalmente, la intersección de R = Q_1 \cap Q_2 es la representación del espacio para M (Nota: no hemos quotiented por conjugación o nada).

Pregunta 1: En el papel http://www.jstor.org/pss/2001712, Boyer y Nicas afirman que si M es un \Q-homología de la esfera, el homológica intersección [Q_1 . Q_2 ] es igual a |H_1(M)|, y dicen que es fácil de probar. Me parece que no puede averiguar cómo hacerlo, sin embargo, y he probado un poco... parece como que hay un poco de teoría que se me debe de faltar. ¿Puede alguien ver cómo demostrarlo?

Pregunta 2: Es la característica de Euler de R (es decir, Q_1 \cap Q_2) también |H_1(M)|? Si es así, ¿cómo podríamos demostrar esto? En particular, existe una relación general entre la intersección de emparejamiento entre dos complementarios submanifolds, y la característica de Euler de su intersección (incluso cuando la intersección no es un número finito de puntos)?

La de arriba es una reminiscencia de Morse-Bott teoría, donde las formas diferenciales en el conjunto crítico de su morse función de dar una base para la cadena de los grupos de homología, y por lo tanto, la característica de Euler de la crítica es la característica de Euler de la multiforme (o algo así... ¿no tiene este derecho?) Esto requiere de Morse-Bott no degeneración de la crítica de conjunto.

Pregunta Final: ¿Cuál es la relación explícita entre el morse de la teoría y la inersection teoría? Y cuando acabamos de atención acerca de la característica de Euler, podemos relajar el Morse-Bott no-degeneración? Parece que Q_1 y Q_2 no siempre se cruzan "no degenerately" (no solamente no transversalmente, pero la intersección podría incluso no ser suave, por ejemplo), pero Boyer y Nicas todavía afirman que la intersección número es algo agradable (y computable en general los motivos). Bajo qué condiciones puede ocurrir lo mismo con un no-Morse-Bott morse función?

Gracias! Espero que no hay demasiadas preguntas aquí...

Answer 1

Yo solía entender esto muy bien, pero ha sido un largo tiempo. Creo que la respuesta es correcta, pero no estoy seguro.

Puesto que M es un racional de homología de la esfera, el irreductible puntos de R que están separados de los reducible puntos, por lo que podemos tratarlos por separado.

[EDIT: Esto no es cierto en general (considere el caso donde $M$ es una conexión de suma). $M$ ser un QHS sólo garantiza que "reducible" puntos de $R$, con la imagen en el centro de la $SU(2)$, están aislados de la irreducibles. Así que el argment a continuación sólo funciona en un caso especial.]

Yo reclamo que (1) la parte irreductible de R contribuye cero a la homológica de la intersección de número de la Q, y (2) la contribución de la reducible parte de R es $H_1(M)$. Creo que la afirmación (1) de la siguiente manera

(a) la respuesta a la pregunta 2, que es la contribución de un submanifold de intersección es igual a la característica de Euler de su paquete normal (normal tanto a la Q);

(b) utilizando la estructura simpléctica para mostrar que la normal en paquete es isomorfo a la tangente en su conjunto, en este caso; y

(c) la observación de que SU(2) actúa libremente, por lo que la característica de Euler de un irred. componente de R es cero.

La reclamación (2), la idea es demostrar que la intersección número es igual al número de homomorphisms $f$ a partir de los finitos grupo abelian $H_1(M)$$S^1$. Si la imagen de $f$$\pm 1$, entonces corresponde a un único transversales punto de $R$. De lo contrario, tanto en $f$ $-f$ mentira en una 2-esfera componente de $R$. Por un argumento similar a la anterior, este 2-esfera contribuye con su característica de Euler, es decir, 2, a la homológica de la intersección de número.

Answer 2

Podría ser útil buscar en el libro de Akbulut y McCarthy en el invariante de Casson. Creo que la respuesta a la pregunta 1 se explica bastante claramente en Proposición 1.1b del capítulo III.