% Ecuación de diophantine homogénea $x^3+2y^3+6xyz=3z^3$

Question

¿Es sabe si hay infinitamente (no proporcional) muchas soluciones del número entero a $x^3+2y^3+6xyz=3z^3$?

Motivación: si es cierto, esto proporcionaría una solución alternativa a esa reciente pregunta de MSE, poniendo $a=\frac{3z^2}{xy},b=-\frac{x^2}{yz},c=-\frac{2y^2}{xz}$.

Answer 1

Parece para ser posible utilizar el hecho de que $x^3+2y^3+6xyz = 3z^3$ es una curva elíptica con Weierstrass forma $y^2 + 6 x y + 16 y = x^{3} - 105 x^{2}$ y que tiene rango $1$ para producir soluciones de enteros. Utilicé el siguiente script sabio hacerlo experimentalmente.

R.<x, y, z> = QQ[]
eq = x^3+2*y^3+6*x*y*z-3*z^3
P = [1,1,-1]

E = EllipticCurve_from_cubic(eq, P, morphism=False)
f = EllipticCurve_from_cubic(eq, P, morphism=True)

G = E.gens()[0]
for n in [2..10]: # adjust for more solutions
    P = f.inverse()(n*G)
    a = P[0]
    k = a.denominator()
    a = a * k
    b = P[1] * k
    c = P[2] * k
    if a in ZZ and b in ZZ and c in ZZ:
        print a,b,c, a^3+2*b^3+6*a*b*c-3*c^3

No estoy seguro si se puede demostrar o no, que esto producirá infinitamente muchas soluciones no proporcional entero, pero al menos parece hacerlo así experimentalmente.

Answer 2

Es una ecuación homogénea, así que si $(x,y,z)$ es una solución entonces $(kx,ky,kz)$ también es una solución:

\begin{eqnarray*} (kx)^3+2(ky)^3-3(kz)^3 &=& 0 \\ \\ k^3x^3 + 2k^3y^3 - 3k^3z^3 &=& 0 \\ \\ k^3(x^3 + 2y^3-3y^3) &=& 0 \end{eqnarray *}

Si tiene uno, cero solución entonces tiene infinitamente muchas soluciones.

Claramente $(x,y,z)=(1,1,1)$ es una solución, y así $(x,y,z)=(k,k,k)$ son todas las soluciones.