Problema de conjuntos, funciones y relaciones

Question

Sí, esta es una tarea problema, pero he intentado solucionarlo y mi trabajo está por debajo, también esta es mi primera pregunta aquí, así que lo siento por los errores:

Pregunta:
Contexto:
Deje $A$ $B$ ser subconjuntos de a $\Bbb{Z}$, y deje $F = \{f : A\to B\}$. Definir una relación $R$ $F$ por: para cualquier $f,g\in F$, $fRg$ si y sólo si $f - g$ es un función constante; es decir, existe una constante$c$, de modo que $f(x) - g(x) = c$ todos los $x\in A$.

Suponga que $A=\{1,2,3\}$ $B=\{1,2,\ldots,n\}$ donde $n \geq 2$ fijo es un entero

Pregunta:
Demostrar que para todos los $g,h \in F$, de modo que $gRh$, si no existe $a,b \in A$, de modo que $g(a) = 1$$h(b) = 1$$g = h$.

Intento de solución:
Por definición,$g(x) - h(x) = c$, a partir de la cual podemos escribir que $g(a) - h(a) = c$$g(b) - h(b) = c$. Ahora si sustituimos en los valores iniciales: $1 - h(a) = c$$g(b) - 1 = c$. Lo siguiente que equipara ellos: $1 - h(a) = g(b) - 1$. Y aquí es donde estoy atascado, yo sé que con el fin de que eso sea cierto: $c = 0$, pero sé que a partir de una prueba con lo que quiero demostrar es incorrecta por lo que no puedo usar eso en mi razonamiento. Y donde estoy ahora parece un poco inútil para mí...

No estoy pidiendo respuestas, la información será útil, muchas gracias!

Gracias! (Y lo siento si se me hizo complicado :-/

Answer 1

Basta con emplear las propiedades de su rango de $B$. De sus argumentos, tenemos $1-h(a) = c$ y $g(b) -1 = c$. Además, sabemos que $h(a) \geq 1$ y $g(b) \geq 1$. Utilizar estos hechos para concluir que $c=0$ de hecho.

Más detalladamente, desde $h(a) \geq 1$, tenemos $c = 1-h(a) \leq 0$, y...

Answer 2

Sugerencia: Dibujar gráficos de ejemplo de $g$ y $h$.

Por ejemplo, supongamos que $n = 3$, $a=1$ y $b=2$.

Primero, el caso que $c > 0$. ¿Por qué es imposible?