Definición 1.1 de estas notas sobre sistemas de factorización, (III) llama la factorización functorial si dado el sólido esquema descrito, hay una única flecha horizontal que ambas plazas conmuten. ¿Por qué esto merece el nombre de 'functorial'?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Haaakon
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Deje $[n]$ denotar la categoría de $0\to 1\to\cdots\to n$. Dada una factorización de sistema de $(L, R)$ en categoría $\mathcal{C}$, se puede elegir un mapa de $F_0\colon\operatorname{Ob}\mathcal{C}^{[1]}\to\operatorname{Ob}\mathcal{C}^{[2]}$, el cual se asigna un objeto a $x\xrightarrow{f} y$ $\operatorname{Ob}\mathcal{C}^{[1]}$ a un objeto $x\xrightarrow{e} E\xrightarrow{m} y$ $\mathcal{C}^{[2]}$ tal que $e\in L$, $m\in R$ y $f=me$.
Si su factorización sistema es functorial, esto se extiende a un functor $F\colon\mathcal{C}^{[1]}\to\mathcal{C}^{[2]}$ la asignación de un morfismos $(u,v)$ $\mathcal{C}^{[1]}$ a un morfismos $(u,\omega,v)$ $\mathcal{C}^{[2]}$ donde $\omega$ es el único de morfismos se requiere en (III), haciendo el respectivo diagrama conmutativo. La singularidad de garantías que $F$ es de hecho un functor, es decir, que dados dos morfismos $(u,v),(u',v')\in\mathcal{C}^{[1]}$, tenemos
$$ F((u,v))\circ F(u',v') = (u,\omega,v)\circ (u',\omega',v') = (u\circ v',\omega\circ\omega',v\circ v') = F((u\circ u',v\circ v'))$$
También tenga en cuenta que aunque la elección de $F_0$ no es el único, (III) las garantías de que es única hasta isomorphisms. Para probar esto, tomar dos factorizations $(e, m)$ $(e',m')$ de la misma morfismos $f$ y considerar los diagramas de $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} x@>\operatorname{id}>> x @>\operatorname{id}>> x\\ @V{e}VV @V{e'}VV @V{e}VV \\ E@>\omega>>E' @>\omega'>> E \\ @V{m}VV @V{m'}VV @V{m}VV\\ y@>\operatorname{id}>> y @>\operatorname{id}>> y \end{CD} $$ y $$ \begin{CD} x@>\operatorname{id}>> x\\ @V{e}VV @V{e}VV \\ E@>\omega'\circ\omega>> E \\ @V{m}VV @V{m}VV\\ y@>\operatorname{id}>> y \end{CD} $$ Por (III): $\omega'\circ\omega$ es único, por lo tanto $\omega'\circ\omega = \operatorname{id}$. Por lo tanto nuestra factorización functor $F$ se determina hasta isomorphisms, y tiene sentido hablar de los asociados de la factorización de la functor.
