Cómo mostrar que$\mathfrak s \leq \mathfrak d$

Question

Estoy tratando de entender por qué $\mathfrak s \leq \mathfrak d$. ¿Alguien puede indicar una prueba de ello? Tengo una prueba , lo que no entiendo todavía. Mi pregunta con respecto a que la prueba está aquí abajo:

En el principio de la prueba, para cada estrictamente creciente en función, $f \in \omega^\omega$,$f(0) > 0$, un conjunto $\sigma_f$ se define como sigue:

$\sigma_f = \bigcup\{[f^{2n}(0),f^{2n+1}(0));n \in \omega\}$.

Mi pregunta es: ¿por Qué es $\sigma_f$ se define de esta manera? ¿Por qué no es posible definir de esta manera: $\sigma_f = \bigcup\{[f(2n),f(2n+1));n \in \omega\}$?

He aquí la Prueba:

Definiciones: $\mathfrak s$ es la de dividir el número que es el más pequeño de la cardinalidad de cualquier división de la familia.

Una división de la familia es una familia $\mathcal L \subseteq [\omega]^\omega$ de tal manera que cada conjunto de $y \in [\omega]^\omega$ se divide por al menos uno de los $x \in \mathcal L$. También, un conjunto $x \subseteq \omega \space$ se divide un conjunto infinito $y \in [\omega]^\omega$ si ambos $y \cap x$ $y\setminus x$ son infinitas.

Un familly $\mathcal D \subseteq \omega^\omega$ es dominante, si para cada una de las $f \in \omega^\omega$,$g \in \mathcal D$$f \leq^*g$. El que domina número $\mathfrak d$, es el más pequeño de la cardinalidad de cualquier dominante de la familia, $\mathfrak d = min \{|\mathcal D|; \mathcal D \space is \space dominating\}$

Gracias, Shir

Answer 1

Se podría definir $\sigma_f$ en la forma en que usted sugiere, pero luego tendrías que utilizar un proceso más complejo, $f$ más tarde en la prueba.

El punto de la definición es que cuando se aplica $f$ a cualquier número en uno de los intervalos de $[f^{2n}(0),f^{2n+1}(0))$ que constituyen $\sigma_f$, se obtiene un resultado en el intervalo de $[f^{2n+1}(0),f^{2n+2}(0))$ que es disjunta de a $\sigma_f$. Ese es el ingrediente esencial en la demostración de que cualquier conjunto infinito (por un adecuado $f$ como se describe en la prueba), a partir de algún punto, todos los intervalos (en $\sigma_f$, así como las disjunta de a $\sigma_f$) y, por consiguiente, será dividido por $\sigma_f$.