Medida bien definida

Question

Sea $X$ sea un conjunto no vacío y $\mathcal{M}$ sea el $\sigma$ -de subconjuntos contables y subconjuntos cocontables de $X$ . Sea $\mu(A) = 0$ si $A$ es contable y 1 si $A$ es contable. Quiero demostrar que $\mu$ es una medida, pero me preocupa que no esté bien definida ya que $X$ puede ser contable, y por tanto cualquier subconjunto de $X$ es contable y cocontable. ¿Alguna idea?

Answer 1

Supongamos que $X$ es incontable.

La primera parte de la demostración de que esta medida está bien definida consiste en verificar que $\mathcal M$ es de hecho un $\sigma$ -álgebra. Es claramente cerrada bajo complementos. Para demostrar que es cerrada bajo intersecciones contables, hay que considerar dos casos: o bien la intersección implica sólo conjuntos contables (en cuyo caso también es contable), o bien implica algún conjunto contable (en cuyo caso es contable). Así, $\mathcal M$ es realmente un $\sigma$ -álgebra.

Para demostrar que la medida está bien definida, debemos demostrar que $\mu$ asigna un valor único a cada $A\in \mathcal M$ . Entonces $A$ o $A^c$ es contable, por definición de $\mathcal M$ . Además $A$ y $A^c$ no pueden ser simultáneamente contables, ya que de lo contrario $X$ sería contable. Por lo tanto, la medida está bien definida.

Por último, para verificar que $\mu$ es una medida, hay que comprobar que $\mu(\varnothing)=0$ (claro) y que $$\mu(\bigcup_{n\in \mathbb N} A_n)=\sum_{n\in \mathbb N}\mu(A_n)$$ para cualquier familia contable disjunta de conjuntos $\{A_n\}_{n\in \mathbb N}\subset \mathcal M$ . En primer lugar, obsérvese que existe como máximo un conjunto cocontable entre los $\{A_n\}$ (lo que se deduce de la disjunción y del hecho de que $X$ es incontable). A continuación, si hay precisamente un conjunto cocontable, observe que ambos lados son $1$ . En el caso restante, cuando todos los conjuntos son contables, ambos lados se evalúan como $0$ . Así pues, tenemos una medida bien definida.

Supongamos que $X$ es contable.

En este caso, la medida no está bien definida, porque $0=\mu(X)=1$ .

Answer 2

Una forma de asegurarse de que la medida está bien definida es asignar a los conjuntos cocontables infinito en lugar de $1$ 1. En otras palabras, establece $\mu(A) = \infty$ si $A$ es contable y $\mu(A) = 0$ si $A$ es contable. Esto sólo funcionará si $X$ es incontable para empezar, de lo contrario el conjunto contable será contable por sí mismo.