"Si $\text{Gal}\left(K/F\right)=\left<\sigma\right>$, $N_{K/F}\left(\alpha\right)=1$, entonces el $\alpha=\frac{\beta}{\sigma\left(\beta\right)}$."

Question

Para (fintie) extensión de Galois $K/F$, es fácil demostrar que $N_{K/F}\left(\frac{\beta}{\sigma\left(\beta\right)}\right)=1$ % todo $0\ne\beta\in K$, $\sigma\in\text{Gal}\left(K/F\right)$. Os quiero enseñar es condicional inversa, con assumpstion $\text{Gal}\left(K/F\right)=\left<\sigma\right>$.

En otras palabras, quiero mostrar "si $\text{Gal}\left(K/F\right)=\left<\sigma\right>$, $N_{K/F}\left(\alpha\right)=1$ para los dadas $0\ne\alpha\in K$, entonces el $\alpha=\frac{\beta}{\sigma\left(\beta\right)}$."

Answer 1

Busca un punto fijo distinto de cero de la $F$-linear mapa $$\phi: K \to K,\beta \mapsto \alpha\sigma(\beta).$ $

El % de Asunción $N(\alpha)=1$asegura que tiene $\phi^n=\operatorname{Id_K}$ (donde $n$ es el grado de $K/F$). En particular, el polinomio mínimo de $\phi$ $F[T]$ es un divisor de $$T^n-1=(T-1)(1+ T + \dotsb + T^{n-1}).$ $

Por el hecho bien conocido que $1,\sigma, \dotsc, \sigma^{n-1}$ son linear independiente, obtenemos $1+ \phi + \dotsb + \phi^{n-1} \neq 0$, por lo tanto el polinomio mínimo contiene el factor $T-1$, que es equivalente a la declaración que $1$ es un valor propio de $\phi$, el resultado deseado.