Cómo, en todo caso, ¿ la matemática pura beneficio de $2^{74207281}-1$ prime?

Question

Así que un par de días atrás, el $17$ millones de dígitos de número de $2^{57885161}-1$ fue golpeado por el $22$ millones de dígitos de número de $2^{74207281}-1$ a ser el más grande que se conoce el primer número.

¿Hay alguna específica (puramente matemático) implicaciones del hecho de que este número es primo? En particular, no esta de resolver algo distinto a la pregunta de si $2^{74207281}-1$ es primo, en el estilo de algunos recién descubierto teorema de la resolución anterior conjeturas? Es tal vez un contraejemplo a algo que hasta ahora creía cierto?

Edit: soy consciente de las muchas(estrictamente matemático) implicaciones prácticas y las razones para continuar la búsqueda de grandes números primos (criptografía, etc), pero no estoy al tanto de cualquier estrictamente matemático utiliza particular de los números primos, que es por qué (y qué) es que estoy haciendo.

Answer 1

No tiene aplicaciones prácticas de las matemáticas o de cualquier otro campo que yo sepa.

Se espera que hay un número infinito de números primos de Mersenne, por lo que el descubrimiento de una nueva es completamente en línea con eso. Por otro lado, sería mucho más interesante y tal vez de alguna manera consecuente, si hemos fallado a encontrar uno nuevo donde uno debe estar de acuerdo con la conjetura de distribución. O si encontramos dos cuyos exponentes fueron muy juntas, que también sería una sorpresa bastante pidiendo una explicación matemática; no hay manera de averiguarlo en la actualidad, puede darse el caso de que $2^p-1$ es primo para todo lo suficientemente grande prime $p$. Pero esto es completamente ordinario, y su descubrimiento es sólo una pieza más de evidencia de lo que ya es ampliamente creído.

RSA criptografía se basa en la dificultad de factorizar compuesto de números cuyos factores primos son desconocidos, tan grande primos Mersenne no tienen ninguna relación con esto. Hay otros criptosistemas basados en el logaritmo discreto problema como el de Diffie-Hellman y ElGamal que utilizar conocido números primos como parámetros, pero mucho más pequeño de los números primos son lo suficientemente segura, y los primos de Mersenne son consideradas inadecuadas porque no son seguros.

Los números primos de Mersenne son utilizados en PRNGs como MT19937 porque es más rápido realizar la multiplicación en binario de un modulo de Mersenne prime frente a otros tipos de números primos. Pero va a tomar algún décadas de continuación de la ley de Moore antes de que el gigante de los números primos de Mersenne encontrar aquí un importante papel, y que parece bastante improbable.

Entonces, ¿por qué nadie la atención entonces? Porque es un sorprendentemente difícil logro que inspira al público y hace que la gente interesada en aprender más acerca de las matemáticas. Y lo que aspiran y ambicioso matemático no estaría orgulloso de ver su nombre conservado en la historia junto a Leonhard Euler? Es el tipo de cosa que se celebre para su propio bien.

Answer 2

He hecho una lista de razones por las que los matemáticos atención sobre el sentido de los números y los números primos de Mersenne , que puedan ser relevantes. Pero la búsqueda es realizada principalmente por razones estéticas, no porque de esas aplicaciones. Sin embargo, también hay beneficios indirectos. La búsqueda de números primos de Mersenne llevó al descubrimiento de una falla en ciertos procesadores de Intel, por ejemplo. Lo que es más importante, ha liderado el desarrollo de rápido FFT de software para grandes números, que tienen numerosas aplicaciones en la industria. (La búsqueda utiliza un número relativamente grande, por lo que tienen para desarrollar un nuevo software para ejecutar de manera eficiente ahí, pero como computadoras se hacen más eficiente los tamaños ser de utilidad para muchos proyectos prácticos.)

Pero no puedo pensar en ninguna razón por la que a sabiendas de que este número en particular es el primer avance en las matemáticas, no en su propio. Si una cantidad suficiente de números primos de Mersenne se encuentran, sin embargo, le proporcionan evidencia a favor o en contra de la norma conjeturas acerca de cómo se distribuyen. Si es lo que esperamos que cambia muy poco, pero si no están, a continuación, averiguar por qué y cómo de repente son preguntas muy importantes, ya que podría perjudicar a otros supuestos construido aparentemente-falsas premisas.

Answer 3

Bueno, ha habido casos en el pasado donde una conjetura, finalmente, fue refutado sólo por un valor extremadamente grande. Así que encontrar a ese número (y a una cierta distancia desde el número anterior), puede contribuir a nuestro conocimiento de algunos, aún no probada conjetura.

Aquí está un ejemplo de una conjetura que, finalmente, fue refutado sólo por un valor extremadamente grande (aunque en este caso no fue refutado como un resultado directo de descubrir ese valor):

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Considere las siguientes funciones:

• La primer función de recuento $\pi(n)$
• El logaritmo integral de la función $Li(n)=\int\limits_{2}^{n}\frac{1}{\ln{x}}dx$

El teorema de los números primos, que indica que $\pi(n) \approx Li(n)$, se demostró en $1896$.

Para valores pequeños de a $n$, que había sido revisado y encontrado siempre que $\pi(n)<Li(n)$.

Como resultado, muchos prominentes matemáticos, incluyendo no menos de tanto Gauss y Riemann, conjeturó que la desigualdad estricta.

Para sorpresa de todos, esta hipótesis fue refutada en $1914$.

Vale la pena señalar que fue refutada no por un contraejemplo, pero por probar que un contraejemplo existido (de hecho, una exacta contraejemplo sigue siendo desconocido para este día).

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