Una solución difícil suma infinita--encontrar numéricamente, necesidad de prueba

Question

Considere la posibilidad de una infinita suma de la siguiente forma:

$X Y^{\alpha} + X^2 Y^{\alpha + \alpha^2} +X^3 Y^{\alpha + \alpha^2 + \alpha^3} + ...$

...que puede ser expresada de forma más concisa:

$\sum\limits_{j = 1}^{\infty}X^j \prod\limits_{k = 1}^{j}Y^{\alpha^k}$

...donde $0 < X < 1$, $0 < \alpha < 1$, y $Y > 0$.

El uso de métodos numéricos, he descubierto que la solución [Actualización: no es la solución, sino una aproximación para algunos valores.] es la siguiente:

$\sum\limits_{j = 1}^{\infty}X^j \prod\limits_{k = 1}^{j}Y^{\alpha^k} = \dfrac{X}{1-X} Y^{\frac{\alpha}{1 - \alpha X}}$

¿Alguien sabe cómo probar esto analíticamente?

Gracias de antemano!

Actualización:

Como un comentarista mostró, por encima de la igualdad es, en realidad, no es una solución sino una aproximación que está muy cerca de algunos de los valores de los parámetros. Así que aquí están algunos detalles más:

Parece útil para representar el infinito suma de la siguiente manera:

$\sum\limits_{j = 1}^{\infty}X^j \prod\limits_{k = 1}^{j}Y^{\alpha^k} = \dfrac{X}{1-X} \varphi$

...donde $\varphi$ es potencialmente una función de $X$, $Y$, y $\alpha$.

Numéricamente, me han confirmado los siguientes 2 propiedades de $\varphi$:

1. $\lim\limits_{X \to 0} \varphi = Y^\alpha~~$ $~~Y > 0~~$ $~~\alpha \in (0,1)$

2. $\lim\limits_{X \to 1} \varphi = Y$ $~~Y > 0~~$ $~~\alpha = \frac{1}{2}$

Voy a aceptar cualquier respuesta que me mueve mucho más cerca de una expresión general para $\varphi$ o una útil aproximación.

Answer 1

Podría ser falta algo, pero parece que $$\prod_{k=1}^j Y^{\alpha^k} = Y^{\frac{\alpha (1- \alpha^j)}{1-\alpha}}.$$ So, changing the variable to $% $ $Z=Y^{\frac{\alpha}{1-\alpha}},$usted conseguirlo %#% $ #% no aparece para simplificar más lejos...

Answer 2

Esto no es exactamente lo que usted pidió, pero su todo lo que tengo.

Defina los siguientes términos:

$$X=\sum_{k=0}^{\infty}x^k \qquad \qquad |x|<1 $$ $$Y=\sum_{r=0}^{\infty} \log\left(y^{\alpha^r} \right) \qquad \qquad 1\le y<e \; \; \text{and} \; \; |\alpha|<1$$

y ahora considerar estos conjuntos,

$$\top X=\{1,x,x^2,x^3,...,x^k,...\}$$ $$\top Y=\{\log\left(y \right),\log\left(y^{\alpha} \right),\log\left(y^{\alpha^2} \right),\log\left(y^{\alpha^3} \right),...,\log\left(y^{\alpha^r} \right),...\}.$$

Donde $\top$ denota una suma como una secuencia, y $\top_{(-s)}$ indica la secuencia con la primera $s$ términos quitado.

Esta es la voluntad de ser un proceso iterativo, ya que en tu planteado el poder de $Y$ ellos mismos se plantean sucesivamente a los poderes superiores.

En primer lugar, calcular las siguientes: $$<\top X,\top Y>=\log\left(y \right)+x\log\left(y^{\alpha} \right)+x^2\log\left(y^{\alpha^2} \right)+x^3\log\left(y^{\alpha^3} \right)+...$$

$$<\top_{(-1)} X,\top Y>=x\log\left(y \right)+x^2\log\left(y^{\alpha} \right)+x^3\log\left(y^{\alpha^2} \right)+x^4\log\left(y^{\alpha^3} \right)+...$$

$$<\top_{(-2)} X,\top Y>=x^2\log\left(y \right)+x^3\log\left(y^{\alpha} \right)+x^4\log\left(y^{\alpha^2} \right)+x^5\log\left(y^{\alpha^3} \right)+...$$

$$<\top_{(-3)} X,\top Y>=x^3\log\left(y \right)+x^4\log\left(y^{\alpha} \right)+x^5\log\left(y^{\alpha^2} \right)+x^6\log\left(y^{\alpha^3} \right)+...$$

$.\\ .\\ .\\$ $$<\top_{(-k)} X,\top Y>=x^{k}\log\left(y \right)+x^{k+1}\log\left(y^{\alpha} \right)+x^{k+2}\log\left(y^{\alpha^2} \right)+x^{k+3}\log\left(y^{\alpha^3} \right)+...$$ $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ $$X\log(y)+x\log(y^\alpha)+x^2(\log(y^\alpha)+\log(y^{\alpha^2}))+x^3(\log(y^\alpha)+\log(y^{\alpha^2})+\log(y^{\alpha^3}))+...$$

$\qquad X\log(y)+x\log(y^\alpha)+x^2\log(y^{\alpha+\alpha^2})+x^3\log(y^{\alpha+\alpha^2+\alpha^3})+...$

La primera columna contiene todos los términos adicionales, por suerte es sólo $X \log(y)$, por lo que podemos restar esta distancia. El uso de las propiedades mágicas de los logaritmos de que el grupo el resto de los términos en diagonal, entonces el factor de $x^m$ y combinar todas las suma de los registros en la multiplicación.

Ahora la pregunta es: ¿cómo podemos calcular el valor exacto de todos estos productos de puntos? Si tenemos en cuenta la tabla anterior como una cuadrícula en la $(k,r)$ el valor de las filas y columnas, respectivamente, lo que realmente tenemos es la siguiente sumatoria: $$\sum_{r=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty}x^{r+k}\log(y^{\alpha^r})$$ $$=\sum_{r=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty}x^{r+k}\alpha^r\log(y)$$ $$=\log(y)\sum_{r=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty}x^{r+k}\alpha^r$$ $$ =\log(y)\sum_{r=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty}(x \alpha)^{r}x^{k}$$ $$ =\log(y)\sum_{r=0}^{\infty}(x \alpha)^{r} \sum_{k=0}^{\infty}x^{k}$$ $$ =\log(y)\left(\frac{1}{1-x\alpha}\right)\left(\frac{1}{1-x}\right)$$ Restando los términos adicionales que tenemos,

$$\sum_{k=1}^{\infty}x^k\log(\prod_{s=1}^k(y^{\alpha^s}))=\log(y)\left(\frac{1}{1-x\alpha}\right)\left(\frac{1}{1-x}\right)-log(y)\left(\frac{1}{1-x}\right)$$ $$=\log(y)\left(\frac{1}{1-x}\right)\left(\frac{1}{1-x\alpha}-1\right)$$ $$=\log(y)\left(\frac{1}{1-x}\right)\left(\frac{x\alpha}{1-x\alpha}\right)$$ $$=\log(y^{x\alpha})\left(\frac{1}{1-x}\right)\left(\frac{1}{1-x\alpha}\right)$$

Notas: como $X$ $Y$ son absolutamente convergentes en el trabajo realizado en la suma está justificado. Observe que $|x\alpha|<1$ por las restricciones iniciales.

Answer 3

La siguiente respuesta es lo que he llegado tan lejos, que será lo suficientemente bueno para lo que necesito. Todavía me va a aceptar otras respuestas que puede hacer uno de los siguientes:

1. Proporcionar una explícita expresión general.
2. Ampliar la caracterización que desarrollo a continuación, lo que demuestra adicional de propiedades útiles.
3. Desarrollar una forma más útil de la caracterización.

Mi respuesta:

En primer lugar, observa que el $~~\lim\limits_{\alpha \to 1} \sum\limits_{j = 1}^{\infty} X^j \prod\limits_{k = 1}^{j} Y^{\alpha^k} = \dfrac{XY}{1 - XY}$

Esto sugiere que podría ser útil para abordar el problema de utilizar los trucos para progresiones geométricas, pero con un pequeño giro:

$S = XY^{α}+X^2Y^{α+α^2}+X^3Y^{α+α^2+α^3}+...$

$\dfrac{S}{XY^\xi} = Y^{α - \xi}+XY^{α+α^2- \xi}+X^2Y^{α+α^2+α^3- \xi}+...$

$\dfrac{S}{XY^\xi} - Y^{α - \xi} = XY^{α+α^2- \xi}+X^2Y^{α+α^2+α^3- \xi}+...$

$\dfrac{S- XY^{α}}{XY^\xi} = XY^{α+α^2- \xi}+X^2Y^{α+α^2+α^3- \xi}+...$

$S = \dfrac{XY^{\alpha}}{1 - X Y^{\xi}}$

...para algunos $\xi$ que es una función de $\alpha$, $X$, y $Y$, siempre y cuando ciertas condiciones técnicas espera.

Las siguientes propiedades de $\xi$ puede ser demostrada:

$0 < \xi < \alpha^2$

$\dfrac{\partial \xi}{\partial \alpha} > 0 $

$\dfrac{\partial \xi}{\partial X} < 0 $

$\dfrac{\partial \xi}{\partial Y} < 0 $

$\lim\limits_{\alpha \to 0} \xi = 0$

$\lim\limits_{\alpha \to 1} \xi = 1$