Análisis - Continuidad uniforme

Question

Necesito encontrar un ejemplo de una función $f:I$ a $R$ tal que $f$ es uniformemente continua $f'$ existe pero $f'$ no está acotado? Estoy bastante atascado con esto - es parte de una revisión y creo que nunca he manejado muy bien este tipo de problemas. Se agradece cualquier orientación.

Answer 1

Sugerencia: Tome $I=(0,1)$ y $f(x)=\sqrt{x}$ .

Answer 2

Intenta pensar en una función continua y diferenciable en un intervalo compacto $[a,b]$ excepto una derivada infinita en uno de $a$ o $b$ .
A continuación, considere la misma función en $(a,b)$ .

Answer 3

(Este es un ejemplo estándar, tiene la ventaja de que la cuestión no es una "derivada infinita").

Toma $f(x)=x^2\sin(1/x^2)$ para $x\ne0$ y $f(0)=0$ . Esta función es continua y, por tanto, uniformemente continua en cualquier intervalo acotado, por ejemplo $I=[0,1]$ . Por otro lado, $f'(0)=0$ y $f'(x)=2x\sin(1/x^2)-(2/x)\cos(1/x^2)$ para $x\ne0$ que no tiene límites en ninguna vecindad de $0$ .

Si quiere un ejemplo sobre intervalos no limitados, elija $x_0>0$ con $f'(x_0)=0$ , comience con el $f$ del párrafo anterior, pero sólo en $[-x_0,x_0]$ y ampliarlo a $\mathbb R$ al establecer $f(t)=f(x_0)$ para $|t|>x_0$ .