Valor Mínimo

Question

Que $a\ge b\ge c\ge 0$ tal que $a+b+c=1$ encontrar el valor mínimo de $P=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\dfrac{24}{5\sqrt{5a+5b}}$

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Halló que el valor mínimo de $P$ $\dfrac{78}{5\sqrt{15}}$ cuando $a=b=\dfrac{3}{8};c=\dfrac{1}{4}$

Y este es mi intento

Aplicando la desigualdad de AM-GM, obtenemos: $\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{5}{3}\ge2\sqrt{\dfrac{5}{3}}.\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

Esto implica $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge2\sqrt{\dfrac{5}{3}}.\dfrac{3a}{3+2a}$

Del mismo modo, $\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge2\sqrt{\dfrac{5}{3}}.\dfrac{3b}{3+2b}$

Tenemos que demostrar que: $2\sqrt{\dfrac{5}{3}}\left(\dfrac{3a}{3+2a}+\dfrac{3b}{3+2b}\right)+\dfrac{24}{5\sqrt{5a+5b}}\ge\dfrac{78}{5\sqrt{15}}$

Pero no tengo ni idea de cómo continuar. ¿Quién puede ayudarme o tiene alguna otra idea?

Answer 1

$P=\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\dfrac{24}{5\sqrt{5a+5b}}$

$m=\sqrt{\dfrac{a}{1-a}},n=\sqrt{\dfrac{b}{1-b}} \implies a=\dfrac{m^2}{m^2+1},b=\dfrac{n^2}{n^2+1},\\a\ge b\ge c \implies a\ge \dfrac{1}{3} \implies m^2\ge \dfrac{1}{2} ,a+b=1-c \ge 1-b \implies n\ge \sqrt{\dfrac{1}{2m^2+1}}\implies mn\ge \sqrt{\dfrac{m^2}{2m^2+1}}=\sqrt{\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{m^2}}}\ge \dfrac{1}{2} \implies 4mn \ge 2 $

$\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{m^2n^2+m^2+n^2+1}{2m^2n^2+m^2+n^2}\ge \dfrac{(\dfrac{m+n}{2})^2+1}{2(\dfrac{m+n}{2})^2} \iff (n-m)^2(n^2+m^2+4mn-2) \ge 0$

$(\dfrac{m+n}{2}) =\dfrac{1}{t} \implies P \ge \dfrac{2}{t}+\dfrac{24}{5\sqrt{10}}\sqrt{1+t^2}=2f(t) \\ f'(t)=-\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{12}{5\sqrt{10}}\sqrt{\dfrac{t^2}{1+t^2}}=0 \implies t^2=\dfrac{5}{3}$

es fácil de comprobar que esto es lo mínimo.

$f_{min}=\dfrac{39}{5\sqrt{15}}, P_{min}=\dfrac{78}{5\sqrt{15}}$ Cuando $m=n$

así $m=n=\dfrac{1}{t} \implies a=b=\dfrac{1}{1+t^2}=\dfrac{3}{8}>\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Usted puede usar el cálculo para encontrar esto.

$f(a,b) = \sqrt{\frac{a}{1-a}} + \sqrt{\frac{b}{1-b}} + \frac{24}{5\sqrt{5(a + b)}}$

Ahora, primero vamos a encontrar el punto crítico, $(x,y)$, de esta función, donde$f_a(x,y) = 0$$f_b(x,y) = 0$.

Tomando derivadas parciales y establecer a 0, verá que el punto crítico es en $a = b$.

Así que ahora tenemos una 1D función, $g(a) = f(a,a) = 2\sqrt{\frac{a}{1 - a}}+ \frac{24}{5\sqrt{10 a}}$.

Luego se diferencian $g$ con respecto al $a$, es igual a 0, y se obtiene que la $a = 3/8$, por lo que, a continuación,$b = 3/8$$c = 1/4$.

Usted puede hacer esto más en concreto por la construcción de la matriz Hessiana de $f(a,b)$ y la verificación de que efectivamente este es el mínimo (compruebe que el determinante es >0 y que $f_{aa} > 0$ en este punto crítico).