¿Cuándo una función entrará en un intervalo abierto en un intervalo abierto?

Question

Supongamos que consideramos una función $f(x)$ define un intervalo abierto decir $(a,b)$ a algún conjunto de $T$. ¿Cuando sería el conjunto de $T$ en un intervalo abierto?

Answer 1

Para dar sentido a lo poco que puede decirse sin más restricciones en la función, considere esto: existe un mapa de $f\colon(0,1)\to(0,1)$ que se asigna a cada abierto no vacío subinterval de $(0,1)$ a $(0,1)$.

No sé si tal función puede ser dada en forma explícita, pero aquí es una prueba de la existencia que depende en última instancia el axioma de elección:

Escribir $x\sim y$ si $x-y$ es racional. A continuación, $\sim$ es una relación de equivalencia en $(0,1)$. Escribir $E$ para el conjunto de clases de equivalencia. Entonces la cardinalidad de a $E$ es igual a la de $(0,1)$, debido a que cada clase de equivalencia es contable. En particular, existe una sobre el mapa de $F\colon E\to(0,1)$. Definir $$f(x)=F([x])$$ where $[x]$ is the equivalence class of $x$.

Ahora, dada cualquier $y\in(0,1)$ $0<a<b<1$ hay algo de $x\in(0,1)$$F([x])=y$. Ciertamente, podemos encontrar algunos de los $x'\in(a,b)$$x'\sim x$, por lo que el $f(x')=F([x'])=F([x])=y$. Por lo tanto $f$ mapas de $(a,b)$ a $(0,1)$ como se reivindica.

Answer 2

El conjunto de $T$ sería un intervalo abierto si la función es inyectiva, es decir, supongamos que T es un subconjunto de R y $f$ es continua.