Ecuación 2.27 de la introducción de Pachos a la computación cuántica topológica

Question

http://quince.leeds.ac.uk/~phyjkp/Files/IntroTQC.pdf

arriba está el PDF que está alojado en su sitio web. La ecuación está en la página 22 (pg 30 en el pdf). En el capítulo 2. Es la segunda ecuación de la subsección "derivación de la holonomía".

En la ecuación 2.27 divide la integral de la exponencial de un operador de evolución temporal en pasos finitos (que son infinitamente pequeños). Como están dentro de una exponencial la serie infinita se convierte en un producto infinito. Todo eso lo entiendo.

Lo que no entiendo es cómo las dos matrices unitarias (la $U$ y el $U^{\dagger}$ ) salen del exponencial. Esto me ha estado molestando durante un tiempo. Esto es como pasa de la serie central al producto del lado derecho.

Me pregunto si esto es un error o no. No pido una solución completa, ya que quiero resolverlo, pero una pista estaría bien.

Answer 1

Editar: Lo siento, mi primera respuesta no era la esperada. Lo dejé por debajo de la respuesta correcta que detallo ahora:

Siempre es complicado hablar de los exponenciales de los operadores. Lo bueno es que siempre es el mismo truco: se usa $e^{A}\approx1+A$ en ambas direcciones, válido para pequeñas $A$ . Para obtener resultados exactos también se utiliza que $e^{At}=\prod_{i}\left(1+A\Delta t_{i}\right)$ A veces, aquí utilizamos ambos.

Así que aquí se parte de $$U\left(0,T\right)=\hat{T}\lim_{N\rightarrow\infty}\exp\left[-\mathbf{i}\sum_{i=1}^{N}U_{i}H_{0}U_{i}^{\dagger}\Delta t\right]$$

y usas el truco

$$\exp\left[-\mathbf{i}\sum_{i=1}^{N}U_{i}H_{0}U_{i}^{\dagger}\Delta t\right]=\prod_{i=1}^{N}\left(1-\mathbf{i}U_{i}H_{0}U_{i}^{\dagger}\Delta t\right)=\prod_{i=1}^{N}U_{i}\left(1-\mathbf{i}H_{0}\Delta t\right)U_{i}^{\dagger}$$

porque $U_{i}U_{i}^{\dagger}=1$ . Entonces utiliza el truco $1-\mathbf{i}H_{0}\Delta t\approx e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}$ espalda, válida para las pequeñas $\Delta t$ y se obtiene

$$\exp\left[-\mathbf{i}\sum_{i=1}^{N}U_{i}H_{0}U_{i}^{\dagger}\Delta t\right]\approx\prod_{i=1}^{N}U_{i}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{i}^{\dagger}$$

que finalmente termina con la expresión deseada

$$U=\hat{T}\lim_{N\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{N}U_{i}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{i}^{\dagger}$$

Nada más. Después de practicar un poco, parece que ya no es difícil :-)

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¿Es el operador de ordenación del tiempo lo que le perturba?

Parto de la ec.(2.26) $$U\left(0,T\right)=\hat{T}\exp\left[-\mathbf{i}\int_{0}^{T}U\left(\lambda\left(t\right)\right)H_{0}U^{\dagger}\left(\lambda\left(t\right)\right)\right]$$

que amplío como siempre $$U=\hat{T}\lim_{N\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{N}U_{i}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{i}^{\dagger}=\hat{T}\lim_{N}\left[U_{1}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{1}^{\dagger}U_{2}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{2}^{\dagger}U_{3}\cdots U_{N}^{\dagger}\right]$$

pero gracias a la ordenación del tiempo, el operador primero en tiempo tiene que estar a la derecha, así que tenemos también

$$U=\hat{T}\lim_{N}\left[U_{N}\cdots U_{3}^{\dagger}U_{2}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{2}^{\dagger}U_{1}e^{-\mathbf{i}H_{0}\Delta t}U_{1}^{\dagger}\right]$$

(En principio podría abandonar el operador de ordenación del tiempo en ese paso, ya que todo se ve bien ordenado, pero entonces debería preocuparme por el prefactor, así que lo mantengo, ¡es elegante por cierto!) Luego, expandiendo $U_{i}^{\dagger}U_{i}\approx1+A_{i}\Delta\lambda_{i}$ se obtiene la ec.(2.30) $$U=\hat{T}\lim_{N}\left[U_{N}\left(1-\mathbf{i}H_{0}N\Delta t+\sum_{i=1}^{N-1}A_{i}\Delta\lambda_{i}\right)U_{1}^{\dagger}\right]$$

y el criterio adiabático y el hecho de que $H_{0}\left|\Psi_{0}\right\rangle =0$ para conseguir

$$U\left(0,T\right)=\hat{P}e^{\oint Adl}$$

cuando $U_{N}=U_{1}=1$ . Debido a la adiabaticidad, existe un mapeo entre la evolución del tiempo y el seguimiento de la trayectoria, por lo que $\hat{T}\rightarrow\hat{P}$ en la última expresión.