¿Son matrices con determinante cero un múltiple?

Question

Considerar el conjunto de matrices con determinante cero en $M_n(\mathbb R)$, donde $n > 1$. ¿Es un colector? ¿De hecho, es incluso un múltiple topológico?

Sospecho que no; pero no tengo una prueba.

¿Si de hecho no es un múltiple, es tal vez una Unión de finito muchos colectores? ¿Hay una manera de determinarlos? ¿El problema se convierte en más fácil sustituir $\mathbb R$ $\mathbb C$?

Answer 1

Deje $S$ el conjunto de las matrices con determinante $0$. Deje $M_{ij}$ ser la matriz cuyas $(i,j)^{\rm th}$ entrada $1$ y cuyas entradas se $0$. A continuación, $\gamma_{ij}(t)=tM_{ij}$ es una curva en $S$ todos los $(i,j)$.

Supongamos que por el bien de la contradicción que $S$ es un colector. A continuación, $T_0S$ (existe y) contiene $\gamma_{ij}'(0)=M_{ij}$ todos los $(i,j)$. Pero el $M_{ij}$ span $T_0M_n(\Bbb{R})$. De ello se desprende que $T_0M_n(\Bbb{R})=T_0S$. Por lo $S$ tiene dimensión $n^2$, y por lo tanto está abierto en $M_n(\Bbb{R})$. Pero esto es absurdo (por ejemplo, las matrices $\varepsilon \cdot\mathrm{id}$ no se encuentran en $S$, y vienen arbitrariamente cerca de $0$). Por lo $S$ no es un colector.

(Tenga en cuenta que esta prueba es moralmente muy similar a la dada en @5PM del enlace en los comentarios.)

Answer 2

Bien, he aquí lo que tengo hasta ahora: Pick $n-1$ vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$: $v_1,v_2,\ldots,v_{n-1}$. A continuación, considere la posibilidad de un pequeño $U$ barrio de:

$$M_0 = \left(\begin{array}{ccccc} & & & & \\ v_1 & v_2 & \cdots & v_{n-1} & 0 \\ & & & & \end{array}\right)$$

Y considerar la posibilidad de $U \cap X$ donde $X$ es nuestro conjunto de matrices que tiene determinante cero. Si $U$ es lo suficientemente pequeño, para cada matriz en $U \cap X$ primera $n-1$ vectores es linealmente independiente. Que significa para $M \in U \cap X$ existen únicos números reales $a_1(M),a_2(M),\ldots,a_{k-1}(M)$ de manera tal que la n-ésima columna de a $M \in U \cap X$ (vamos a escribir como $v_n(M)$) puede ser escrita:

$$v_n(M) = a_1(M)v_1(M) + a_2(M)v_2(M) + \cdots + a_{n-1}(M)v_{n-1}(M)$$

Y además está claro que el $a_i(M)$ dependen continuamente en $M$ (De hecho, el $a_i$ sólo debe ser racional funciones de los elementos de $M$, por lo que debe ser suave). Agregar en las variaciones de la primera $n-1$ vectores, cada uno de los cuales se ve como un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$, obtenemos que $U \cap X$ es homeomórficos a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2 - 1}$

Ahora, mirando en un barrio de otro punto (el origen?) debemos ser capaces de determinar que $X$ no es un colector... aunque no puedo averiguar una prueba.