Estoy desarrollando un modelo matemático de un dispositivo mecánico formado básicamente por osciladores armónicos acoplados. Resulta que la matriz de masa del sistema es asimétrica. Me parece haber leído en alguna parte que una matriz de masa tiene que ser simétrica, pero no estoy seguro. Así que me gustaría saber si es posible que una matriz de masa en este caso sea asimétrica. Si no puede, ¿cuáles son las implicaciones físicas de una matriz de masa asimétrica en este caso?
Respuestas
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Dan Herbert
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Para grupos finitos, no hay ejemplos esta era la conjetura de Ore ¿Cómo se convirtió la "Conjetura de Ore" en una conjetura? .
Nick
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Siempre que la masa se exprese como una matriz real $M$ El término de masa o algo más importante es una expresión bilineal. Por ejemplo, la masa efectiva en la física de la materia condensada es la matriz de masa $M$ de modo que el término cinético del hamiltoniano se escribe como $$ E_k = \frac{\hbar^2}{2m} \vec k \cdot M^{-1} \cdot \vec k $$ donde $M^{-1}$ es la matriz inversa. Siempre se puede dividir esta última matriz en la parte simétrica y antisimétrica. La parte antisimétrica no afecta al Hamiltoniano (no afecta a la física) en absoluto porque se contrae con el tensor simétrico $k_i k_j$ . Así que, sin pérdida de generalidad, podemos exigir que la matriz sea simétrica, y todos lo hacen.
En algunos contextos, como los términos de masa para campos complejos en la teoría cuántica de campos, es sólo la parte hermitiana de la matriz de masa la que afecta al Lagrangiano o al Hamiltoniano porque el término es $\bar\psi \cdot M \cdot \psi$ con una barra extra (conjugación compleja). En ese caso, suponemos que la matriz de masa es hermitiana por una razón análoga a la del párrafo anterior; la parte antihermitiana no contribuye.
Estoy de acuerdo con la respuesta de Lubos (y ja72 tiene razón en que también hay un criterio de positividad). Sin embargo, ya que has vuelto a repetir la pregunta a ja72, permíteme explicar la respuesta de Lubos de forma más explícita y con más detalles.
Suponga que en su sistema de osciladores armónicos el término cinético se define con una matriz de masa $M$ es decir (como en la respuesta de ja72):
$$K=\frac{1}{2} \dot{q}^T M \dot{q}$$
Ahora define lo siguiente a las matrices $M_s=\frac{1}{2}(M+M^T)$ y $M_a=\frac{1}{2}(M-M^T)$ . Es muy fácil comprobar que $M=M_s+M_a$ , $M_s^T=M_s$ y $M_a^T=-M_a$ . Debido a estas propiedades, $M_s$ se llama la parte simétrica de $M$ , mientras que $M_a$ se llama la parte antisimétrica (también son los términos que utilizó Lubos).
Ahora, observemos que desde $M_a$ es antisimétrica la identidad $v^T M_a v=0$ se mantiene para cualquier vector $v$ . Volviendo a escribir el término cinético, obtenemos
$$K=\frac{1}{2} \dot{q}^T M \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T M_s \dot{q} + \frac{1}{2} \dot{q}^T M_a \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T M_s \dot{q}$$
Por lo tanto, $M_s$ define exactamente el mismo término cinético que $M$ ¡! Esto significa que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la matriz de masa es simétrica. O en otras palabras: siempre que se escriba una energía cinética con una matriz de masa no simétrica $M$ se puede olvidar la parte antisimétrica y escribir la misma energía cinética con $M_s$ - simplemente lleva al mismo sistema.
Espero que esta explicación más detallada ayude a entender la respuesta (que también se dio anteriormente). No dudes en preguntar, si algo sigue sin estar claro.
Lo mejor, Zoltan
