❑ Un mínimo de:

Question

Que %#% $ #%

• Mostrar que $$f(x)=\sqrt{9x^{2}+1}-3x-2 $ está delimitado por abajo por el $f$ % $ $-2$
• ¿Es el valor mínimo de $$\forall x\in \mathbb{R}\quad f(x)>-2 $ de $-2$?

De hecho, que $f$\begin{align} f(x)>-2 &\iff \sqrt{9x^{2}+1}-3x-2>-2\\ &\iff \sqrt{9x^{2}+1}>3x \\ &\implies 9x^{2}+1>9x^2 \\ &\implies 1>0 \end {alinee el}

entonces $x\in \mathbb{R}$$$\forall x\in \mathbb{R}\quad f(x)>-2 $f $ which means $-2$

• ¿Es el valor mínimo de $ is bounded from below by $ de $-2$?

No puedo demostrar que $f$ no es un valor de f (x) quiere decir que $-2$ no es el valor mínimo de $-2$

Tenga cuidado: No differentiability

Answer 1

El argumento de $f(x)>-2$ es problemático porque, como es writtten, no pueden ir de $1>0$ en la espalda inferior a $f(x)>-2$. Una solución fácil es sustituyendo el dos $\Rightarrow$ $\Leftarrow$'s.

Alternativamente, usted puede también reformular el argumento como sigue: porque $9x^2+1>9x^2$, tenemos $$ f (x) > \sqrt{9x^2}-3x-2=3|x|-3x-2=3(|x|-x)-2\geq-2. $$ Y porque la desigualdad de la izquierda es estricta, $2$ no el valor mínimo de $f$.

Answer 2

Tenga en cuenta que \sqrt{9x^2+1 $$} > 3 x $$ si y sólo si una de las dos condiciones: $$ x < 0 \quad \mbox{or} \quad\begin{cases} x\ge 0\\ 9x^2+1>9x^2 \end{casos} $ es verdad. Y, puesto que $9x^2+1>9x^2$ es verdad $\forall x \in \mathbb{R}$, podemos concluir que la función es $f(x)> -2 \quad \forall x \in \mathbb{R}$.

El cálculo mismo demuestra que la ecuación $f(x)=-2$ no tiene soluciones, así $-2$ no es un mínimo para la función.

Answer 3

Tenemos: % $ $$f(x)=\sqrt{9x^{2}+1}-3x-2 $$$ f'(x) = \frac{9x}{\sqrt{9x^2+1}} - 3$$ es obvio que $f'(x)\lt0$:

$f'(x) \lt 0 \iff \frac{9x}{\sqrt{9x^2+1}} \lt 3 \iff \frac{81x^2}{9x^2+1} \lt 9 \iff 0\lt9$ . Ahora sabemos que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Ahora calculamos el límite usando L'Hôpital: $$ \lim_{x\to \infty}\sqrt{9x^{2}+1}-3x-2 = -2$ $ también sabemos $f(x) \neq -2$ como calcular en su pregunta, pues, podemos concluir que el $f(x)\gt -2$