$\operatorname{Tor}_1^\mathbb{Z}(U,U)=0$. ¿$U$ Torsión es gratis?

Question

Que $U$ sea un $\mathbb{Z}$-módulo con $\operatorname{Tor}_1^\mathbb{Z}(U,U)=0$. ¿Esto implica que el $U$ es libre de torsión?

Sé eso si $\operatorname{Tor}_1^\mathbb{Z}(U,M)=0$ para cada $\mathbb{Z}$-módulo $M$, entonces se llama $U$ (por definición), pero esto es más fuerte que $\operatorname{Tor}_1^\mathbb{Z}(U,U)=0$. Por el contrario, plano implica libre de torsión. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo atacar la cuestión.

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

El functor $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1$ exacta en cada variable (por el largo de la secuencia exacta de Tor y el hecho de que $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_2=0$). Así que si $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(U,U)=0$, $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(A,B)=0$ para cualquier subgrupos $A,B\subseteq U$. Ahora si $U$ no está de torsión libre, deje $x\in U$ ser un cero a la torsión elemento y deje $A$ $B$ a ser el subgrupo cíclico generado por $x$. A continuación, $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(A,B)\neq 0$ (desde $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(\mathbb{Z}/(n),\mathbb{Z}/(n))\cong\mathbb{Z}/(n)$ todos los $n>0$), lo cual es una contradicción. Por lo tanto si $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(U,U)=0$, $U$ es de torsión libre.

Más generalmente, si $M$ $N$ $\mathbb{Z}$- módulos, a continuación, $\operatorname{Tor}^\mathbb{Z}_1(M,N)\neq 0$ fib hay un primer $p$ tanto $M$ $N$ tiene elementos de orden $p$. A ver Cuando es $\operatorname{Tor}_1 ^\mathbb{Z} (M,N) \neq 0$? para los detalles.