Un ejemplo dado por Hatcher como una aplicación para el anillo del cohomology es distinguir $\mathbb{CP}^2$ $S^2 \vee S^4$ hasta equivalencia de homotopía a pesar de sus grupos de cohomología son los mismos. Pero me gustaría saber si hay algún ejemplo, preferiblemente baja dimensión, de las variedades compactas que son equivalentes a sumas de dos o más colectores compactos de la cuña de homotopía.
Respuesta
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Un trivial de cuña suma $M \vee N$ cerrado de colectores de falla para satisfacer la dualidad de Poincaré, y por lo tanto no puede ser homotopy equivalente a otro cerrado colector $X$.
En primer lugar, si $M$ $N$ tienen la misma dimensión, a continuación, la parte superior (co)homología distingue $M \vee N$ a partir de un colector cerrado. Para asumir WLOG que $M$ ha estrictamente dimensión menor que $N$. Recordemos que la dualidad de Poincaré sobre $\mathbb{F}_2$ implica que la copa del producto de emparejamiento
$$H^k(X, \mathbb{F}_2) \times H^{n-k}(X, \mathbb{F}_2) \to H^n(X, \mathbb{F}_2) \cong \mathbb{F}_2$$
es no degenerada (aquí $n = \dim X = \dim N$). Pero tomando las $k = \dim M$, no es una clase en $H^k(X, \mathbb{F}_2)$ proveniente de un generador de $H^k(M, \mathbb{F}_2)$ que no la copa del trivial en cualquier grado superior.
