Supongamos que no. Entonces existe $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt{-6}$ tal que $\sqrt{-6}=\alpha\beta\implies\alpha,\beta$ no son unidades. No sé muy bien a dónde ir a partir de aquí. ¿Algún consejo?
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Oli
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El concepto de norma es extremadamente importante, incluyendo el hecho de que es multiplicativo (lo que significa que $N(m) N(n) = N(mn)$ ). Apréndelo, ámalo, vívelo.
Lo que realmente facilita las cosas en $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ (que es lo mismo que $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\sqrt{-6}$ ) es el hecho de que sólo hay dos unidades: 1 y $-1$ . ¿Cómo sabemos que esas son las únicas unidades? Una unidad tiene norma 1 o $-1$ . La norma de un número de la forma $a + b \sqrt{-6}$ es $a^2 + 6b^2$ por lo que la norma no puede ser negativa. Las posibles normas en $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ son 0, 1, 4, 6, 7, 9, 10, etc. (ver A002481 de Sloane). Tanto el 1 como el $-1$ tienen una norma de 1, ningún número en este dominio puede tener una norma de $-1$ . Si $a > 1$ o $b > 1$ entonces $N(a + b \sqrt{-6}) > 1$ .
2 y 3 son potencialmente primos porque ningún número de este dominio tiene una norma de 2 o 3. Pero, como ya sabes por la otra pregunta que hiciste, $2 \times 3 = -(\sqrt{-6})^2 = 6$ , lo que significa que 2 y 3 son irreducibles pero no primos en este dominio.
Pero ¿qué pasa con $\sqrt{-6}$ ? Su norma es 6. Si es reducible, podemos encontrar dos números, ninguno de ellos 1, tales que $N(\alpha) N(\beta) = 6$ . Así que buscamos un número con norma 2 y otro con norma 3. Pero acabamos de ver que no hay números en ese dominio con esa norma. Por lo tanto, $\sqrt{-6}$ es irreducible.
Si realmente quieres estar seguro, puedes probar cada producto $(a - b \sqrt{-6})(a + b \sqrt{-6})$ para $0 \leq a \leq 3$ y $b$ también.
