Verde ' función de s $y''+y=f(x)$

Question

Este ejemplo está tomado del artículo de Wikipedia. Es decir, encontrar la función de Green para

$$y'' + y = f(x)$$

con las condiciones de contorno:

$$y(0) = y(\frac {\pi} {2}) = 0.$$

La definición de la ecuación para la función de Green es:

$$G''_{xx}(x, s) + G(x, s) = \delta (x-s).$$

Hay algunos aspectos sutiles relacionadas con la integración de funciones discontinuas que no puedo entender claramente. Todo está bien hasta encontrar la solución general y la aplicación de condiciones de contorno que se obtiene:

$$ \left\{\begin{matrix} G(x, s) = a \cos x, x > s,\\ G(x, s) = b \sin x, x < s, \end{de la matriz}\right. $$

donde $a,b$ son desconocidos de los coeficientes. Ahora necesito integrar la definición de la ecuación de $s-\varepsilon$ $s+\varepsilon$y tomar el límite cuando $\varepsilon \rightarrow 0$. Me debe llegar a:

$$ \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim} \left( G'_{x}(x, s)\bigg|_{s+\varepsilon} - G'_{x}(x, s)\bigg|_{s-\varepsilon} \right) = 1 $$

como se muestra, por ejemplo, aquí en la página 6, la fórmula 41: http://young.physics.ucsc.edu/116C/gf.pdf

El segundo término desaparecido desde $G(x, s)$ es continua por definición. De hecho, es fácil mostrar el uso de dividir el intervalo de integración en $[s-\varepsilon, s]$ $[s, s+\varepsilon]$ y tomando el límite.

Pero, ¿qué hacer con $G''_{xx}(x, s)$? La fórmula de arriba, parece un "directo" de la aplicación de Newton-Leubnitz fórmula. Aunque, $G''_{xx}(x, s)$ es discontinuo y no hay una función que podría ser una clara antiderivada para que en todo el intervalo de $[s - \varepsilon, s + \varepsilon]$.

ACTUALIZACIÓN:

De acuerdo con el teorema 3.8 por Nott (1978) ( http://www.jstor.org/stable/2100979 ), la integral definida de $G''_{xx}(x, s)$ puede ser calculada como sigue utilizando el hecho de que $G'_{x}(x, s)$ es seccionalmente continua:

$$ \int_a^b G"_{xx}(x, s) dx = G'_{x}(x, s), (b,s) - G'_{x}(x, s), (a,s). $$

Answer 1

No estoy seguro de entender lo que le estás pidiendo. Lo que has escrito dice lo siguiente. Para cada $s$, $x \mapsto G(x,s)$ es una función continua que satisface $\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}+G=0$ en cada una de las $x \neq s$. Para cada $s$, $x \mapsto \frac{\partial G}{\partial x}(x,s)$ es una función continua en cada una de las $x \neq s$. En $s$, $\frac{\partial G}{\partial x}$ tiene un salto de tamaño $1$. Esto es equivalente a decir que el derecho derivado en $s$ $1$ más grande que el izquierdo derivado en $s$.

Así en $[0,s)$ $G(x,s)=a \sin(x)$ y en $(s,\pi/2]$$G(x,s)=b \cos(x)$. Así que la izquierda derivado en$s$$a \cos(s)$, mientras que el derecho derivado es $-b \sin(s)$. Por lo $-b\sin(s)-a\cos(s)=1$. La continuidad de la $G$ nos da $a\sin(s)-b\cos(s)=0$. En otras palabras:

$$\begin{bmatrix} -\cos(s) & -\sin(s) \\ \sin(s) & -\cos(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Esto sucede porque

$$\int_{s-\varepsilon}^{s+\varepsilon} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}(x,s) dx = \int_{s-\varepsilon}^{s+\varepsilon} -G(x,s) + \delta(x-s) dx = 1 - \int_{s-\varepsilon}^{s+\varepsilon} G(x,s) dx$$

y

$$\int_{s-\varepsilon}^{s+\varepsilon} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}(x,s) dx = \frac{\partial G}{\partial x}(s+\varepsilon) - \frac{\partial G}{\partial x}(s-\varepsilon).$$

Desde $\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}$ es en este caso una distribución en lugar de una función, esta última ecuación es realmente una definición de $\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}$.

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con la solución que usted propone usted tendrá \begin{align} \left.\begin{array}{rcrcl} \cos\pars{s}a & - & \sin\pars{s}b & = & 0 \\ -\sin\pars{s}a & -& \cos\pars{s}b & = & 1 \end{array}\right\}\quad\imp\quad \left\{\begin{array}{rcl} a & = & -\sin\pars{s} \\ b & = & -\cos\pars{s} \end{array}\right. \end{align}

$$ {\rm y}\pars{x}=-\cos\pars{x}\int_{0}^{x}\sin\pars{s}\fermi\pars{s}\,\dd s -\sin\pars{x}\int_{x}^{\pi/2}\cos\pars{s}\fermi\pars{s}\,\dd s $$