Estoy realmente confundida con esta pregunta: encontrar los autovalores y autovectores del geométrico: $$ A = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} $$^ reflection in the line $y % = x$.
Gracias.
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Estoy tratando de entender la pregunta. Perdóname si soy totalmente apagado. Pero reflexión en $y=x$ significa geométricamente que cualquier vector de la línea, se queda donde está, que se corresponde con un valor propio de 1. Cualquier vector perpendicular a la línea, se asigna exactamente a su "otro" lado, que se corresponde con un valor propio de -1. (Las entradas del vector son signos cambiados)
Dan Rust
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Ayuda a recordar lo que autovalores y autovectores en realidad significa. Vamos a empezar con eigenevectors de una matriz. Como estoy seguro de que eres consciente, una matriz de $A$ puede ser visto, en cambio, como una transformación lineal que llamaremos $T_A$. Un autovector de a $A$ a menudo está dado por la definición de que es un vector $x$ tal que $Ax=\lambda x$ para algún número real $\lambda$. Esto en sí mismo no es muy esclarecedor hasta que desenvolver lo que la ecuación en la definición que nos está diciendo.
Es realmente diciendo que la transformación lineal $T_A(x)$, que es igual a $Ax$, en realidad no cambie la línea que pasa por el origen en el que el vector $x$ está sentado. Podría ser empujado a lo largo de la línea, más lejos del origen, o que pudiera ser arrastrado hacia el origen, pero se quedará en esa línea. Así, un vector propio de una matriz es realmente sólo una forma elegante de decir"un vector que es empujado a lo largo de una línea'.
Así, bajo esta interpretación de lo que es el autovalor asociado a un autovector. Así en la definición de un autovector dado sobre el autovalor asociado es el número real $\lambda$, y después de desempacar, ¿qué significa esto? Bien $T_A(x)=\lambda x$, por lo que ya sabemos $x$ se queda en la línea porque es un vector propio, y a partir de la ecuación anterior, sabemos que en realidad $x$ se ha trasladado a $\lambda x$ - pero eso significa que $\lambda$ es solamente nos dice que el factor de escala que se aplica a la línea que el vector $x$ abarca. Así que si $\lambda>1$, entonces la línea se exapanded por un factor de $\lambda$ si $\lambda=1$, entonces la línea se fija pointwise, si $0<\lambda<1$, a continuación, la línea llega reducido por un factor de $1/\lambda$, y si $\lambda=0$, todo en la línea se asigna a $0$. Si $\lambda$ es negativo, entonces se hace lo mismo que el anterior, pero también refleja todo sobre el origen, por lo que la línea se volcó y, a continuación, reducido o ampliado.
Teniendo en cuenta todo esto, usted debería ser capaz de ver fácilmente que las líneas fijas por su matriz, y también de lo mucho que están afectados por la transformación.
