La función $f'+f'''$ tiene al menos $3$ ceros en $[0,2\pi]$ .

Question

Demuestre que si $f\in \mathcal{C}^3$ y $2\cdot\pi$ periódico entonces la función $f'+f'''$ tiene al menos $3$ ceros en $[0,2\pi]$ .

Mi intento :

f es $2\pi$ periódico y $\mathcal{C}^3$ tenemos : $$\lim_{h\rightarrow 0, h>0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0, h>0} \frac{f(2\pi+h)-f(2\pi)}{h}\Rightarrow f'(0)=f'(2\pi)$$

Después de eso traté de calcular de manera diferente el límite $$ \lim_{h\rightarrow 0, h>0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0, h<0}\frac{f(h)-f(0)}{|h|}=\lim_{h\rightarrow 0, h<0}-\frac{f(2\pi+h)-f(0)}{h}\Rightarrow f'(0)=-f'(2\pi) $$

lo cual es claramente falso porque recibo $f'(0)=0$ ( $f(x)=\sin(x)$ es un contraejemplo).

Para $2$ ceros es relativamente fácil, pero estoy atascado para el cero adicional.

EDIT : Encuentro este ejercicio (como siempre) aquí : Revue de la filière Mathématique. Esto se preguntó durante un examen oral de Escuela Normal Superior rue d'Ulm.

Answer 1

Supongamos que $g := f' + f'''$ sólo tiene un número finito de ceros en ${\bf R} / 2\pi{\bf Z}$ . Entonces tiene un número par de cambios de signo. Demostramos que debe haber más de $2$ y, por tanto, que hay al menos $4$ cambios de signo en cada intervalo de tiempo, por lo que a fortiori al menos $4$ ceros.

Vladimir ya ha señalado que $\int_0^{2\pi} g(x) \, dx = 0$ , lo que implica al menos dos cambios de signo, y también $$ \int_0^{2\pi} g(x) \sin x \, dx = 0, \quad \int_0^{2\pi} g(x) \cos x \, dx = 0. $$ (Esto se puede demostrar bien por integración por partes como Vladimir sugerido, o por expansión de Fourier como sugiere nbubis .) Por lo tanto, $$ \int_0^{2\pi} g(x) \, (A + B \sin x + C \sin x) = 0 $$ para todos $A,B,C$ . Pero supongamos que $g$ tuvo sólo dos cambios de signo en cada período, digamos que en $x_1$ y $x_2$ . Entonces podríamos encontrar reales $A,B,C$ tal que $t(x) = A + B \sin x + C \cos x$ tiene cambios de signo en el mismo $x_1$ y $x_2$ y en ningún otro lugar. Entonces $g(x) t(x)$ está en todas partes $\geq 0$ o en cualquier lugar $\leq 0$ , pero no es cero en todas partes; esto contradice $\int_0^{2\pi} g(x) t(x) \, dx = 0$ , y ya está.

Esta es una técnica conocida, utilizada por ejemplo para demostrar que todas las raíces de un polinomio ortogonal son reales. Para construir $A,B,C$ podemos considerar los puntos $(\sin x_1, \cos x_1)$ y $(\sin x_2, \cos x_2)$ en el círculo $s^2 + t^2 = 1$ y unirlos con una línea $A+Bs+Ct = 0$ que se encuentra con el círculo en esos dos puntos y por lo tanto en ningún otro lugar.

Answer 2

Supongo que deberíamos empezar por esto: Establecer $g=f'+f'''$ . Entonces (integración por partes) $$ \int_0^{2\pi} g(x) dx=0,\quad \int_0^{2\pi} g(x)\sin x dx=0,\quad \int_0^{2\pi} g(x)\cos x dx=0,\quad $$ La primera relación implica que $g$ (si no es idéntico a cero) toma tanto valores positivos como negativos y, por tanto, tiene al menos dos ceros. La segunda y tercera relación deberían implicar de alguna manera que hay al menos dos ceros más. (Esto es un comentario más, pero lo he publicado aquí porque es demasiado grande).

Answer 3

Una posible dirección:

Escribe la serie de Fourier: $$f(x)= a_0 + \sum\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx\right)$$ $$g(x)\equiv f'(x)+f'''(x) = -\sum n (n^2-1) \left(b_n \cos (n x)-a_n \sin (n x)\right)$$

Evidentemente, cuando $n=1$ , $g(x)=0$ lo que significa que el orden más bajo en $g(x)$ es $n=2$ . Ahora, como no hay ningún término constante, por el teorema del valor medio $g(x)$ debe cruzar el cero en al menos un punto, $x_0$ .

Intuitivamente, cualquier función sin frecuencias inferiores a dos, debe cruzar el cero al menos $4$ veces en el intervalo $[0,2\pi]$ aunque no estoy seguro de cómo completar esta prueba.