Dado X⊆Rm,f:X→Rx∈X, podemos decir f es menor semicontinous (l.s.c) en x si
∀ε>0 ∃ δ>0 ∀∈B(δ,x), f(x)≤f(y)+ε.
Quiero mostrar:
Si X está cerrada, f l.s.c si y sólo si el conjunto de f−1((−∞,r]):={a∈X:f(a)≤r} es cerrado para cada una de las r∈R.
Me pregunto cómo podría utilizar el requisito de que el conjunto de X es cerrado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Vamos a empezar con el "si" de la parte: voy a demostrar que si yn→yf(y)≤lim inf. Deje \epsilon_n=\frac{1}{n}; por hipótesis, para cada una de las n podemos encontrar algunos de \delta_n tal que f(y)\leq f(y_n)+\epsilon_n. Ahora toma el límite inferior.
Para terminar, tomar una secuencia (y_n)\subset f^{-1}((-\infty,r]) tal que y_n\rightarrow y. Mediante el uso de lo que hemos sido justo, tenemos que f(y)\leq\liminf f(y_n). Se puede concluir?
Por otro lado, supongamos que para todos los r, la f^{-1}((-\infty,r]) es cerrado y supongamos ad absurdum que no existe \epsilon>0 tal que para todos los \delta_n=\frac{1}{n}, podemos encontrar y_n\in B(\delta_n,x) f(y)>f(y_n)+\epsilon
La última desigualdad implica que y_n\in f^{-1}((-\infty,f(y)-\epsilon]). Se puede utilizar el hecho de que f^{-1}((-\infty,r]) es cerrado y y_n\rightarrow y a concluir?
Nota: La hipótesis de X cerrados es innecesario.
Primera Dirección es: Supongamos que f l.s.c. Para mostrar que A_r = \{a\in X:f(a)\le r\} está cerrado, deje \{a_n\} ser una secuencia en A_r, convergiendo a a_\infty, lo que queremos mostrar es en A_r. Desde f l.s.c., f(a_\infty) \leq \liminf f(a_n) \leq una, desde a_n \in A_r. Por lo tanto, a_\infty \in A_r.
Segunda Dirección: El argumento es básicamente idéntico.
Es mucho más conveniente utilizar el equivalente secuencial definición de la baja semi-continuidad