Romper el flippings en rondas alrededor de la mesa. Además, para facilitar las cosas matemáticamente, hacer de cuenta que somos flip cada moneda, incluyendo los eliminados, cada vez. Nosotros simplemente ignorar el resultado. Además, se sigue hasta que todas las monedas se han volteado la cabeza. El "ganador" es el final de una moneda para girar la cabeza. (Podemos sabe que va a ser el ganador de mucho antes, pero se sigue obstinadamente darle la vuelta hasta que, finalmente, se muestra una cabeza).
Cada moneda tiene las mismas probabilidades de sobrevivir a una ronda. La probabilidad de cualquier moneda sobreviviente $n$ rondas de es $(1/2)^n$. la probabilidad de no sobrevivir a $n$ rondas es, por tanto, $$1 - (1/2)^n = \frac {2^n - 1}{2^n}$$
En orden para coin $i$ a ser el ganador en la ronda $n$, tres condiciones deben tener:
- Moneda de $i$ sobrevive $n-1$ volteretas.
- Cada moneda mayor que $i$ no sobrevive $n-1$ volteretas.
- Ninguna moneda sobrevive $n$ volteretas.
La probabilidad de $i$ sobreviven $n-1$ voltea pero no $n$$(1/2)^{n}$. La probabilidad de cada moneda mayor que $i$ no sobreviven $n-1$ volteretas en el es $$\left(\frac {2^{n-1} - 1}{2^{n-1}}\right)^{100 - i} = \left(\frac {2^n - 2}{2^n}\right)^{100 - i}$$
La probabilidad de cada moneda en menos de $i$ no sobreviven $n$ lanzamientos es: $$\left(\frac {2^{n} - 1}{2^{n}}\right)^{i-1}$$
Así que el total de la probabilidad de $i$ ganar en la ronda de $n$ es:
$$\left(\frac 1{2^n}\right)\left(\frac {2^{n} - 1}{2^{n}}\right)^{i-1}\left(\frac {2^n - 2}{2^n}\right)^{100 - i} = \frac{(2^n-1)^{i-1}(2^n - 2)^{100-i}}{2^{100n}}$$
Lo que significa que el total de la probabilidad de $i$ ganar es $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(2^n-1)^{i-1}(2^n - 2)^{100-i}}{2^{100n}}$$ y, por supuesto, a la espera de índice es
$$\sum_{i=1}^{100}\sum_{n=1}^\infty \frac{i(2^n-1)^{i-1}(2^n - 2)^{100-i}}{2^{100n}}$$
Ya es muy tarde, voy a salir de allí.
