Ejemplos de especial esfera de paquetes

Question

Estoy interesado en los ejemplos de la esfera de paquetes que no surgen a partir del vector de paquetes.

No estoy muy claro sobre el siguiente. Así que por favor, hágamelo saber si algo es falso.

Yo creo que un $(k-1)$-esfera paquete surge a partir de un vector paquete de iff su estructura de grupo puede ser reducido a $O(k)$. Creo que para $k\geq 4$ no se sabe si $O(k)$ es homotopy equivalente a $\operatorname{Diff}(S^{k-1})$, y, en general, es falso. Así que hay esfera paquetes que no surgen a partir del vector de paquetes.

Yo también estoy interesado en más detalles/aclaración de este argumento.

Answer 1

Su argumento se inicia en la pista de la derecha, pero no ha dicho lo suficiente. Un suave $S^{k-1}$-bundle en un espacio de $X$ es clasificado por un mapa de $X \to B \text{Diff}(S^{k-1})$. La acción natural de la $O(k)$ $S^{k-1}$ induce un mapa de $BO(k) \to B \text{Diff}(S^{k-1})$, y la pregunta es si un mapa en $B \text{Diff}(S^{k-1})$ siempre admite un ascensor (hasta homotopy) a un mapa en $BO(k)$.

La razón por la que no he dicho lo suficiente es que esto puede ser posible sin el mapa de $BO(k) \to B \text{Diff}(S^{k-1})$ siendo una equivalencia. El levantamiento problema siempre es solucionable iff es solucionable, para el ejemplo universal, a saber, la identidad de mapa de $B \text{Diff}(S^{k-1}) \to B \text{Diff}(S^{k-1})$. Un ascensor de este mapa en $BO(k)$ es, precisamente, una homotopy sección de la natural mapa de $BO(k) \to B \text{Diff}(S^{k-1})$ (esto es, una sección, hasta homotopy). En particular, usted no necesita un homotopy inversa (como creo que es reivindicado en los comentarios), sólo un homotopy derecho inversa.

Si un mapa entre los espacios tiene una homotopy derecho inversa, a continuación, aplicar cualquier homotopy invariante en el functor produce un mapa con un derecho inversa, por lo tanto, en particular, un mapa que es surjective. Así que para descartar esta posibilidad es suficiente para mostrar que la inducida por el mapa, por ejemplo, en $H_n$ algunos $k$ no se surjective, o que la inducida por el mapa en $H^n$ algunos $k$ no puede ser inyectiva. Pero no sé lo suficiente acerca de la $B \text{Diff}(S^{k-1})$ a ello.