Acerca de la ramificación del lugar geométrico de un morfismos con cero dimensiones de las fibras

Question

Esta pregunta surge a partir de mi un poco frustrante intento de entender lo que etale significa (en el mundo de las variedades algebraicas por ahora) y casarse con la más avanzada geometría algebraica referencias y las de la geometría diferencial. El ejemplo particular que estoy estudiando, es el Lyasko-Looijenga de morfismos.

Decir que $f:X\rightarrow Y$ es finita mapa de afín variedades con cero dimensiones de las fibras. La finitud del mapa significa que el anillo de coordenadas $A(X)=S$ es un finitely generadas $A(Y)=R$ módulo. Ahora dicen que el punto de $y\in Y$ corresponde a la máxima ideal $P\subset R$.

Entiendo cómo el ideal $PS$ $S$ cortes de la variedad $f^{-1}(y)$, pero podría no ser radical, por lo que definimos $S/PS$ a ser la expresión algebraica de la fibra , pero sabemos que no es exactamente la de coordinar anillo de $f^{-1}(y)$. Evenmore, sabemos que $S/PS$ $R/P$- espacio vectorial de dimensión $k$ en la mayoría de los tan grande como el rango de $S$ $R$- módulo (e igual si, en particular, $S$ es un servicio gratuito de $R$-módulo).

Esto a su vez implica que la fibra $f^{-1}(y)$ se contienen en la mayoría de las $k$-muchos de los puntos (el anillo de coordenadas de un número finito de la variedad es un espacio vectorial de dimensión tan grande como su cardinalidad). Estoy tratando de entender cuando este número se logra:

El enfoque en Shafarevich es considerar la extensión de $f^{*}k(Y)\subset k(X)$ y definen $\operatorname{deg}f$ a su grado; cuando la cardinalidad de la fibra es igual que el grado: $$\#f^{-1}(y)=\operatorname{deg}f$$ we say that $f$ is unramified at $s$. The differential geometry approach is just to check the Jacobian at $s$; $f$ is unramified at $y$ precisely when $$J_f\ (y)\neq 0.$$

Pregunta 1: estoy pidiendo un poco de ayuda para understad la equivalencia aquí. ¿Cómo funciona el Jacobiano de $f$ afectan la cardinalidad de a $f^{-1}(y)$ en relación a la degre de la extensión de $f^{*}k(Y)\subset k(X)$?

Pregunta 2: ¿y el anillo de $S/PS$? Se codifica toda la información que necesitamos para $f^{-1}(y)$. ¿Cómo podemos entender aquí que los puntos están más gordos que otros? ¿Cuál es la situación para $\operatorname{Spec}S/PS$?

Pregunta 3: Es evidente que el grado de la extensión de $f^{*}k(Y)\subset k(X)$ es igual al rango de $S$ $R$- módulo, de al $S$ es gratuita a través de $R$? ¿Qué sucede cuando $S$ no es gratis?

Nota: la razón por La que no solo estoy satisfecho con el Jacobiano de la definición (la fibra tiene plena cardinalidad al $J_f\ (y)\neq 0$ ) es porque es más fácil calcular el genérico tamaño de la fibra a través de $S/PS$. En particular, cuando -como en mi caso- $S$ puede ser demostrado ser un libre $R$-módulo, el rango puede ser calculado a través de Hilbert de la serie de los dos anillos.

Por otro lado, es mucho más fácil encontrar la ramificación del lugar utilizando el Jacobiano de la definición. Ahí está mi dilema...

Answer 1

Sólo trataré de amd responder a la pregunta 1 supra. Por el bien de la conveniencia, voy a suponer que $A,B$ son parte integral de los dominios finitos tipo más de un algebraicamente cerrado campo de $k$. Además, se nos da una inclusión de los anillos de $f : A \hookrightarrow B$ tal que $B$ es el módulo finito $A$.

Definición 1 (definición Estándar): Vamos a $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal de a $A$. Decimos que $f$ es unramified en $\mathfrak{m}$ si $$\Omega^1_{B \otimes_A k(\mathfrak{m})/k(\mathfrak{m})} = 0,$$ where $k(\mathfrak{m}) = A/\mathfrak{m}$ .

Definición 2 (Jacobiana definición): Escriba $B = A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_r)$. Deje $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal de a $A$. Decimos que $f$ es unramified en $\mathfrak{m}$ si $\operatorname{Jac}_f(\mathfrak{m})$ tiene rango completo, donde $$\operatorname{Jac}_f = \left(\begin{array}{ccc} \partial f_1/\partial x_1 & \ldots & \partial f_r/\partial x_1 \\ \vdots & & \vdots \\ \partial f_1/\partial x_n & \ldots & \partial f_r/\partial x_n \end{array} \right)$$ y $\operatorname{Jac}_f(\mathfrak{m}) = \operatorname{Jac}_f \otimes_A A/\mathfrak{m}$.

Definición 3 (Shafarevich): Vamos a $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal de a $A$. Decimos que $f$ es unramified en $\mathfrak{m}$ si el número de máxima ideales en la Artinian anillo de $B \otimes_A A/\mathfrak{m}$ es igual al grado de la extensión de campo $\operatorname{Frac}(B)/\operatorname{Frac} (A)$.

Primero vamos a mostrar que la Definición 1 y 2 son equivalentes. Esto es esencialmente inmediata. Es un ejercicio estándar para comprobar que si pensamos en las $\operatorname{Jac}_f$ $B$- lineal mapa de $B^{\oplus r} \to B^{\oplus n}$, $\Omega^1_{B/A}$ es el cokernel de este lineales mapa. Por lo tanto $\operatorname{Jac}_f(\mathfrak{m})$ tiene rango completo si y sólo si $$\Omega^1_{B/A} \otimes_A A/\mathfrak{m} = \Omega^1_{B \otimes_A k(\mathfrak{m})/k(\mathfrak{m})} = 0.$$ Esto muestra que las Definiciones 1 y 2 son equivalentes.

Ahora en esta etapa sólo puedo demostrar que la Definición 1 implica 3. Definir

$$ N:= \text{Number of primes in $B$ lying over $\mathfrak{m}$}$$ y $$ r := \dim_{k(\eta)} B\otimes_A k(\eta) = [\operatorname{Frac}(B): \operatorname{Frac}(A)],$$ donde por $\eta$ me refiero a la genérica punto de $\operatorname{Spec} A$. Por la parte superior semicontinuity de la fibra de la dimensión de una coherente gavilla, se deduce que el $\dim_{k(\mathfrak{m})} B\otimes_A k(\mathfrak{m}) \geq r$. Sin embargo, por la asunción de $f$ unramified en $\mathfrak{m}$ en el sentido de la definición de $1$, $B\otimes_A k(\mathfrak{m})$ es un producto de $\dim_{k(\mathfrak{m})} B\otimes_A k(\mathfrak{m})$ copias de $k$. De ello se sigue que $N \geq r$. However, we also know that trivially $N \leq r$ y así hemos terminado.

Edit: La última desigualdad $N \leq r$ es malo, sin más hipótesis. Voy a tener que pensar acerca de mi respuesta.

Answer 2

Usted tiene que ser un poco cuidadoso aquí. E. g. BenLim escribe en su respuesta que trivialmente $N \leq r,$, pero esto no es realmente cierto en la generalidad bajo discusión aquí.

E. g. deje $A = \{ f \in \mathbb C[t] \, | \, f(-1 ) = f(1) \} \subset B = \mathbb C[t].$

El mapa correspondiente en Especificaciones es el mapa de $\mathbb A^1$ a los nodos de la curva de $$y^2 = x^3 + x^2$$ (Note that $Un \cong \mathbb C[x,y]/(y^2 - x^3 - x^2)$ a través de $x = t^2 - 1,$ $y = t(t^2 - 1).$)

A continuación, el Frac$(A) = $ Frac$(B) = \mathbb C(t)$, por lo que el grado de la función de extensión de campo es $1$. Pero por encima del punto de $(x,y) = (0,0)$ de los nodos de la curva, hay dos puntos de $\mathbb A^1$ (es decir,$t = \pm 1$).

También, el mapa Espec $B \to $ Espec $A$ es unramified en cada punto de Espec $A$, en el sentido de BenLim de la Definición 1.

(Geométricamente, tiene una línea de la asignación a un nodal de la curva, y infinitesimalmente, en cada punto de la fuente, este mapa parece un cerrado de la inmersión en el destino. Por lo tanto se comporta como una inmersión en lo formal/infinitesimal perspectiva, y por lo tanto es unramified, aunque no es realmente una inmersión.)

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Resumen: La afirmación de que Defs. 1/2 implica Def. 3 no es cierto en general.

Para conectar BenLim las Definiciones 1 y 2 para su Definición 3, tendrá un adicional de asunción, tales como la planitud para el mapa de $A \to B$ (que es lo que falta en el ejemplo de arriba).

E. g. si $A$ $B$ son suaves sobre el campo de tierra, luego milagro planitud implica que $B$ es plano sobre a $A$ (teniendo en cuenta que tenemos un número finito de morfismos, de modo que todas las fibras son finitos) y, a continuación, Def. 3 equiv. a Defs. 1 y 2.

Observación: Cuando estamos mirando a f.g. los módulos a través de un Noeth. anillo, como en este caso, el plano es equivalente a localmente libre. Releyendo tu pregunta, parece que usted está feliz de estar en esta situación (y como se indicó anteriormente, es automático si $A$ $B$ corresponden a lisa variedades).

En este caso, todas las definiciones de unramified de BenLim la respuesta son equivalentes. Así por ejemplo, puede utilizar el Jacobiano criterio para comprobar unramifiedness (equivalentemente, etaleness, ya que estamos dando a nosotros mismos planitud, y etale es igual a unramified más plano para morfismos de variedades, o, más en general, para los morfismos de Noetherian esquemas) y, a continuación, utilizar el campo de grado para determinar el tamaño real de las fibras.