Deje $f(x)=x^2+12x+30$. Solucionar $f(f(f(f(f(x)))))=0$

Question

Aquí está mi resolver, ¿es correcto? Me di cuenta de que podemos reformular $f(f(x))$ $((x+r)(x+s)+r)((x+r)(x+s)+s)$ así $f(f(f(f(f(x)))))=0$ es $(x+r)^2(x+s)^2(4s+3r)(4r+3s)$

de vieta del

$0=(x+r)(x+s)(36^2-r^2)$ y obtenemos $x=-6$

Hice un error en alguna parte? También me gustaría ver otras soluciones

EDIT: ¿Cómo puedo resolverlo utilizando vieta entonces?

Answer 1

Tenemos $f(x) = (x+6)^2 - 6$, por lo tanto $f^2 (x) = (x+6)^4 - 6$, $f^3 (x) = (x+6)^8 - 6$, y así sucesivamente.

Por lo $f^5 (x) = (x+6)^{32} - 6 = 0$, dando la (real) de las soluciones de $x=-6 \pm \sqrt[32]{6}$.

Answer 2

Definir de forma inductiva $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$ todos los $n\geq1$, por lo que están resolviendo $f^5(x)=0$.

Tenemos $f^5(x)=f(f^4(x))$ $f^4(x)$ es la solución de $x^2+12x+30=0$, es decir, $$ f^4(x)=-3\pm\sqrt{6}. $$ Entonces por la misma razón, $f^3(x)$ es cualquier valor de $z$ tal que $$ z^2+12z+30=-3\pm\sqrt{6}. $$ Iterando este proceso un par de veces más llegar a las soluciones de $f^5(x)=0$.