Aritmética cardenalicia: $ \beth_\omega $

Question

Es la siguiente igualdad independiente de la ZFC: $$ \bigcup_ { \aleph_ { \beta }< \beth_ { \omega }}2^{ \aleph_ { \beta }}= \beth_\omega $$

Consistente: Ahora que la igualdad es consistente con el ZFC ya que se mantiene asumiendo el GCH. En ZFC+GCH tenemos que $$ \bigcup_ { \aleph_ { \beta }< \beth_ { \omega }}2^{ \aleph_ { \beta }}= \bigcup_ { \aleph_ { \beta }< \aleph_ { \omega }}2^{ \aleph_ { \beta }}= \bigcup_ { \aleph_\beta < \aleph_\omega } \aleph_ { \beta +1}= \bigcup_ { \aleph_\beta < \aleph_\omega } \aleph_\beta = \aleph_\omega = \beth_\omega $$

Note que es fácil mostrar que el argumento anterior puede ser expandido a ZFC+ " $ \aleph_\omega $ es un fuerte límite cardinal" con bastante facilidad.

No estoy seguro de cómo probar esta igualdad (si es demostrable) en el caso general.

¡Gracias!

Answer 1

No, la igualdad es bastante demostrable.

Tenga en cuenta que si $\kappa<\beth_\omega$ entonces para algunos $n\in\omega$ tenemos que $\kappa<\beth_n$ Por lo tanto $2^\kappa\leq 2^{\beth_n}=\beth_{n+1}$ . Por lo tanto, siempre es cierto que $$\beth_\omega=\sup\{2^\kappa\mid\kappa<\beth_\omega\}.$$

En otras palabras, $\beth_\omega$ es probadamente un cardinal de límite fuerte.