Cuadrados bicartesianos de grupos abelianos

Question

Un cuadrado conmutado se llama bicartesiano si es a la vez un pullback y un pushout. Me gustaría demostrar que dado cualquier diagrama de grupos abelianos $A \stackrel{f}{\twoheadrightarrow} B\stackrel{\beta}{\hookrightarrow} C$ siempre puedo incrustar esto como parte de un cuadrado bicartesiano:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} A & \ra{\alpha} & D \\ \da{f} & &\da{g} \\ B & \ra{\beta} & C \end{array} $$

Es decir, quiero demostrar que existe un grupo abeliano $D$ una inyección $\alpha: A\hookrightarrow D$ y un suryecto $g: D\twoheadrightarrow C$ que forma un cuadrado conmutativo como el anterior. También sé que un cuadrado es bicartesiano si y sólo si el mapa inducido en los cokernels (o kernels) es un isomorfismo.

Llamemos $K = \ker f$ y $G = \mathrm{coker}\,\beta$ . Busco un grupo abeliano $D$ tal que el cuadrado indicado es conmutativo y el diagrama siguiente tiene filas y columnas exactas:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} & &0 & &0 \\ & &\da{} & &\da{} \\ & & K & \ra{\simeq} & K \\ & & \da{k} & & \da{}\\ 0 & \ra{}& A & \ra{\alpha} & D &\ra{} &G& \ra{} & 0\\ & & \da{f} & &\da{g} & &\da{\simeq}\\ 0& \ra{}& B & \ra{\beta} & C & \ra{}& G & \ra{} & 0 \\ & &\da{} & & \da{} \\ & & 0& & 0 \end{array} $$

Podemos extraer del diagrama las siguientes secuencias exactas cortas:

$ 0 \to A \to D \to C \to 0$ EDIT: Como ha señalado Zhen, esta secuencia no tiene por qué ser exacta

$ 0 \to K \to D \to C \to 0$

$ 0 \to A \to D \to G \to 0$

Creo que necesito encontrar elementos de $\mathrm{Ext}^{1}(C,K)$ y $\mathrm{Ext}^{1}(G,A)$ pero también necesito que sean mutuamente "compatibles" (en el sentido que tenga eso). No estoy seguro de cómo expresar algebraicamente que el objeto $D$ I pick es capaz de encajar simultáneamente en todas estas secuencias exactas cortas. Me imagino que tengo que usar Mayer-Vietoris o la secuencia exacta larga para Ext, pero no tengo una buena idea de cómo debería funcionar. Cualquier pista será muy apreciada.

Answer 1

Un grupo de amigos y yo decidimos cómo proceder. Escribir la secuencia exacta larga para funtores derivados de $\mathrm{Hom}(G,\cdot)$ aplicado a la primera columna para obtener:

$\cdots \to \mathrm{Ext}^{1}(G,K) \to \mathrm{Ext}^{1}(G,A) \to \mathrm{Ext}^{1}(G,B) \to 0$

La secuencia termina porque $\mathbb{Z}$ es un PID por lo que $\mathrm{Ext}^{n}(G,H) = 0$ para cualquier grupo abeliano $G$ y $H$ cuando $n > 1$ . Ahora $C \in \mathrm{Ext}^{1}(G,B)$ por lo que, dado que el último mapa es un suryecto, procede de una extensión $D \in \mathrm{Ext}^{1}(G,A)$ . La extensión $D$ también viene con la inyección $\alpha$ que necesitamos, así como un mapa entre las extensiones $g: D\to C$ . Para demostrar que $G$ es una suryección podemos utilizar el lema de la serpiente, por lo que $\mathrm{coker}\,g = 0$ desde $f$ es una suryección y el mapa de $G$ a $G$ al final es un isomorfismo.