Mostrando que las proyecciones $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ no son cerrados

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ con el producto de la topología. Simplemente estoy tratando de mostrar que las dos proyecciones se $p_1$ $p_2$ en el primer y segundo factor espacio, respectivamente, no son cerrados de las asignaciones. Parece que esto debería ser fácil, pero no he sido capaz de llegar con un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$ cuya proyección en uno de los ejes no está cerrado.

Realmente no tengo ningún trabajo para mostrar...realmente he intentado las cosas obvias, como rectángulos cerrados y los sindicatos de tal, el complemento de un rectángulo o de la unión de abrir rectángulos, líneas verticales y horizontales, los sindicatos de los embarazos únicos, etc., y no he llegado a algo no evidente, lo que espero es donde la respuesta se encuentra. Es que me molesta que no puedo dar una respuesta, y te agradecería un poco de ayuda. Gracias.

Answer 1

No delimitado el conjunto de trabajo, porque un cerrado y acotado establece en ${\bf R}^2$ es compacto, y la imagen de un conjunto compacto bajo cualquier mapa continuo es compacto (cerrado en cualquier espacio de Hausdorff, en particular en $\bf R$).

Por otro lado, la gráfica de cualquier función con una asíntota vertical de trabajo, por ejemplo, que de $1/x$.

De hecho, no es difícil mostrar que cualquier conjunto abierto en $\bf R$ puede ser obtenida como la proyección de un conjunto cerrado en ${\bf R}^2$ de tal manera que la proyección es inyectiva (no hay dos puntos en el conjunto cerrado de proyecto en el mismo punto en $\bf R$), por una técnica similar. Esto está relacionado con el clásico hecho de que cualquier $G_\delta$ (contables intersección de abrir sets) en ${\bf R}$ (o cualquier otro polaco espacio, es decir, separables y completamente metrizable, si usted está familiarizado con los conceptos) puede ser incorporado como un conjunto cerrado en $\bf R^N$ (producto de countably infinitamente muchas copias de $\bf R$).

Answer 2

La gráfica de $\tan^{-1}(x)$ está cerrada, pero su proyección en el$y$ -, el eje no es.

Hay una discusión relacionada con el en la en el mapa de Proyección de ser un cerrado mapa.