Sea$f(z)$ analítico en$\mathbb{D}$ = {${z\in\mathbb{C}:|z-1|<1}$} tal que$f(1) = 1$, si%

Question

Sea$f(z)$ analítico en$\mathbb{D}$ {${z\in\mathbb{C}:|z-1|<1}$} tal que$f(1) = 1$, si$f(z) = f(z^2)$ Son correctos

1)$z\in\mathbb{D}$

2)$f(z) = [f(z)]^2$

3)$f(\frac{z}{2}) = \frac{1}{2}f(z)$

4)$f(z^3) = [f(z)]^3$

No puedo entender cómo solucionar este problema. Por favor alguien me da algunas pistas.

Answer 1

Comenzando con$z_1 = {1 \over 2}$ y dejando$z_{n+1} = \sqrt{z_n}$ (raíz cuadrada real) obtendrá una secuencia$z_1,z_2,...$ convergindo a$1$. Por la relación$f(z) = f(z^2)$ each$f(z_n)$ tiene el mismo valor. Por continuidad de$f(z)$ este valor es$f(1) = 1$.

Así que tiene una secuencia de ceros de$f(z) - 1$ que converge a$z = 1$. ¿Puedes hacer el resto desde aquí?