$ \int_{0}^1\frac{1+x^6}{1-x^2+x^4-x^6+x^8}dx$

Question

¿Cómo calculamos esta integral? $$ \int_{0}^1\frac{1+x^6}{1-x^2+x^4-x^6+x^8}dx$ $ He intentado fracción parcial, pero es muy difícil factorizar el denominador. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_0^1\frac{1+x^6}{1-x^2+x^4-x^6+x^8}\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\frac{(1+x^6)(1+x^2)}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x\tag{1a}\\ &=\int_1^\infty\frac{(1+x^6)(1+x^2)}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x\tag{1b}\\ &=\frac12\int_0^\infty\frac{(1+x^6)(1+x^2)}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x\tag{1c} \end {align} $$ Explicación:
$\mathrm{(1a)}$: multiplicar por $\frac{1+x^2}{1+x^2}$
$\mathrm{(1b)}$: Sustituye$x\mapsto1/x$ y simplifica
$\mathrm{(1c)}$: Media$\mathrm{(1a)}$ y$\mathrm{(1b)}$

Dependiendo del contexto de la pregunta, hay algunas maneras de calcular$\mathrm{(1c)}$.

Una es usar esta respuesta , que obtiene$\int_0^\infty\frac{x^n}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x=\frac\pi{10}\csc\!\left(\frac{(n+1)\pi}{10}\right)$ por la integración de contorno: $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{(1+x^6)(1+x^2)}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x &=\int_0^\infty\frac1{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x +\int_0^\infty\frac{x^2}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x\\ &+\int_0^\infty\frac{x^6}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x +\int_0^\infty\frac{x^8}{1+x^{10}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac\pi{10}\left[\csc\left(\frac{\pi}{10}\right) +\csc\left(\frac{3\pi}{10}\right) +\csc\left(\frac{7\pi}{10}\right) +\csc\left(\frac{9\pi}{10}\right)\right]\\ &=\frac\pi5\left[\csc\left(\frac{\pi}{10}\right)+\csc\left(\frac{3\pi}{10}\right)\right]\\ &=\frac{2\pi}{\sqrt5}\tag{2} \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \ int_0 ^ 1 \ frac {1 x ^ 6} {1- X ^ 2 x ^ 4-x ^ 6 x ^ 8} \, \ mathrm {d} x = \ frac \ pi {\ sqrt5}

Answer 2

Deje $I$ ser la integral dada por

$$I= \int_{0}^1\frac{1+x^6}{1-x^2+x^4-x^6+x^8}dx$$

Ahora, hacer la sustitución $x=u^{-1}$. A continuación, $dx=-u^{-2}du$ y los límites de integración en $u$ se extienden desde $\infty$$1$. Por lo tanto, podemos escribir

$$ \begin{align} I & = \int_{\infty}^1 \frac{1+u^{-6}}{1-u^{-2}+u^{-4}-u^{-6}+u^{-8}}\left(-u^{-2}\right)du \\ & = \int_1^{\infty} \frac{1+u^{6}}{1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+u^{8}}du \end{align} $$

cual

$$I=\frac12 \int_0^{\infty} \frac{1+u^{6}}{1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+u^{8}}du$$ Siguiente, explotar la incluso la simetría de el integrando, lo que revela que

$$I=\frac14 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+u^{6}}{1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+u^{8}}du$$

Utilizando el Teorema de los Residuos, junto con Jordania Lema, la integral de la $I$ está dado por

$$I=2\pi i \left(\frac14\right)\sum_{i=1}^4 Res_i \left(\frac{1+z^{6}}{1-z^{2}+z^{4}-z^{6}+z^{8}}\right)$$ donde la suma es sobre los cuatro residuos de el integrando en la mitad superior del plano.

Todo lo que queda es encontrar las cuatro raíces complejas $z_i$ del denominador que se encuentran en la mitad superior del plano. Estos son $z_1=e^{\frac{\pi}{10}}$, $z_2=e^{\frac{3\pi}{10}}$, $z_3=e^{\frac{7\pi}{10}}$, y $z_4=e^{\frac{9\pi}{10}}$.

Para encontrar el residuo de $z_i$, tomar el límite

$$\lim_{z \to z_i} (z-z_i) \left(\frac{1+z^{6}}{1-z^{2}+z^{4}-z^{6}+z^{8}}\right)=\frac{1+z_i^{6}}{-2z_i+4z_i^{3}-6z_i^{5}+8z_i^{7}}$$

Answer 3

Esta no es una respuesta final, pero es demasiado largo para un comentario.

Aparte de la solución elegante dada por Dr.MV usando el teorema del residuo, hay algo que encontré interesante en el problema. {\ Infty} (- 1) ^ k \ left (\ frac {1} {% 10 k 1} \ frac {1} {10 k 3} \ frac {1} {10 k 7} \ frac {1} {10 k 9} derecha)$$\frac{1+x^6}{1-x^2+x^4-x^6+x^8}=(1+x^2+x^6+x^8)\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{10k}$ I $ Tiene una expresión muy agradable y simple.