las raíces de $f(z)=z^4+8z^3+3z^2+8z+3=0$, en la mitad derecha del plano

Question

Esta es una pregunta en Ahlfors en la sección sobre el argumento de principio: ¿cuántas raíces de la ecuación de $f(z)=z^4+8z^3+3z^2+8z+3=0$ mentira en la mitad derecha del plano?

Él da una pista de que debemos "boceto de la imagen del eje imaginario y aplicar el argumento de principio a una ampliación de la mitad del disco."

Desde $f$ es una función completa, creo entender que el argumento principio nos dice que para cualquier curva cerrada $\gamma$$\mathbb{C}$, la liquidación número de $f(\gamma)$ alrededor de 0 es igual al número de ceros de $f$ contenida dentro de $\gamma$.

¿Cómo usted va sobre la realidad, la aplicación de la sugerencia, aunque? Estoy teniendo problemas para averiguar lo que la imagen de un grande de la mitad del disco en $f$ vería.

Answer 1

Algunos análisis del comportamiento en el eje imaginario permite indicar el cambio neto en la discusión sobre el diámetro del semicírculo, de $Ri$ $-Ri$para algunas grandes positivo $R$. Darse cuenta de que la parte real de la $f(it)$$t^4-3t^2+3=\left(t^2-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$, se puede ver de primera de todo lo que no puede ser sin cuerda alrededor de cero en el eje imaginario. Además, dado que la parte real de la $f$ sobre el eje imaginario tiene el grado $4$ y la parte imaginaria de $f$ sobre el eje imaginario tiene el grado $3$, la parte real de la $f(\pm Ri)$ será mucho más grande que la parte imaginaria de $f(\pm Ri)$ grandes $R$, lo que significa que el argumento de la $f$ a los extremos del diámetro será cercano a cero, y se puede concluir que hay cerca de $0$ cambio neto en el argumento a lo largo del diámetro del semicírculo.

De este modo, el análisis del cambio en el argumento de $f(Re^{i\theta})$ $\theta$ rangos de$-\frac{\pi}{2}$$\frac{\pi}{2}$. Para esto, es útil tener en cuenta que el $\frac{1}{R^4}f(Re^{i\theta})=e^{4i\theta}\left(1+\frac{8}{R}e^{-i\theta}+\frac{3}{R^2}e^{-2i\theta}+\frac{8}{R^3}e^{-3i\theta}+\frac{3}{R^4}e^{-4i\theta}\right)$ es cerca de $e^{4i\theta}$ al $R$ es grande.

Answer 2

en este caso, $\mathrm{Re} f(it)=t^4-3t^2+3$ no tiene raíces, por lo $f(it)$ es alwas en la mitad derecha del plano -, y para $t\to \pm\infty$ "va en la dirección de la $x$-eje" (como la parte imaginaria de $f(it)$ crece más lentamente). Por lo tanto $\mathrm{Arg} f(it)$ $0$ giros como $t$ $-\infty$ $+\infty$

Si ahora tomamos $(-iN,iN)$ para un gran $N$, y completa una curva cerrada por un semicírculo a la derecha, el número de vueltas de $\mathrm{Arg} f(it)$ viene sólo de la semicírculo, y así es $4/2$ ($4$ es el grado de $f$) $=2$.

Su polinomio tiene $2$ raíces en la mitad derecha del plano -.

En más general de la situación, uno tiene que encontrar el número total de vueltas de $\mathrm{Arg} f(it)$ (se trata de un semi-entero si gr de $f$ es impar). El método es encontrar la intersección de la curva de $f(it)$ con el real y el eje imaginario, para ver cómo entra y sale de los cuadrantes del plano. Así que uno necesita para encontrar las raíces reales de $\mathrm{Re} f(it)$ e de $\mathrm{Im} f(it)$ - de hecho, sólo a su posición relativa en el eje real.

En realidad, es muy útil, por ejemplo, si $f$ es el polinomio característico de un sistema lineal de ord. diff. ecuaciones con coeficientes constantes, entonces no hay raíces en la mitad derecha del plano- = estabilidad del sistema.

edit: Más sobre el método para encontrar el número de raíces con parte real positiva. Vamos $f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_0$, $a_i$'s son números complejos. Nos deja descomponer $f(it)$ $f(it)=p(t)+iq(t)$ donde $p$ $q$ son reales polinomios.

Primero debemos identificar en qué cuadrante $(p(t),q(t))$ es al $t\to -\infty$ (dada sólo por los signos de los principales coeficientes de $p$$q$). A continuación, nos basamos en el eje real las verdaderas raíces de $p$ e de $q$ (y la marca de multiplicidades). Supongamos que $p$ $q$ no tienen en común raíz real, es decir, que no es puramente imaginario raíz de $f$ (de lo contrario tenemos que desplazar $z$ por un pequeño $\epsilon$). No necesitamos los valores exactos de las raíces de la $p$$q$; sólo sus posiciones relativas en el eje real se utiliza.

Ahora, para continuar en el eje real de$t=-\infty$$+\infty$. Cada vez que se reúna una raíz de cualquiera de las $p$ o de $q$, de cambiar el cuadrante. De hecho, si cumple con las dos raíces de $p$ sin raíz de $q$ entre ellos, lo que significa que usted regrese a su original cuadrante. Así que simplemente borrar dichos pares de raíces hasta entre las raíces de $p$ (o $q$) hay una raíz de $q$ (o $p$). Ahora cada una de las restantes raíz significa un cambio en el cuadrante y los cambios van en la misma dirección (hacia la derecha o hacia la izquierda). Por lo $1$ más el número de las restantes raíces, dividido por $4$, es el número de vueltas de $f(it)$ $t$ $-\infty$ $\infty$. (dividido por $4$ contamos cuadrantes).

Si tomamos una gran mitad derecha del círculo, su $f$-imagen hace $n/2$ turnos. Si restamos de esta $n/2$ el número que se encuentra por encima de (número de vueltas de $f(it)$), obtenemos el número de raíces con parte real positiva.

Observe también que $\deg p=n$, $\deg q\leq n-1$, por lo que el (valor absoluto) de los número de vueltas de $f(it)$ es en la mayoría de las $(1+n+(n-1))/4=n/2$. Así que si quieres no tienen raíces con parte real positiva (o de la raíz con parte real negativa), a continuación, $p$ $q$ debe tener todas las raíces reales y que deben alternar.

Answer 3

La sugerencia fue esbozar la imagen de el eje imaginario. Usted puede parametrizar el eje imaginario como $\gamma(t) = it$. $f(it) = t^4-3t^2+3 + (-8t^3 + 8t)i.$ ¿Recuerda cómo trazar la parametrización de la curva de $(t^4-3t^2+3,-8t^3+8t)$ a partir del cálculo?